矩陣連乘 動態規划

　　題目描述：給定n個矩陣｛A1,A2,…,An｝，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1,2 ,…,n-1。如何確定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數乘次數最少。例如：

　　A1={30x35} ; A2={35x15} ;A3={15x5} ;A4={5x10} ;A5={10x20} ;A6={20x25} ;

最后的結果為：((A1(A2A3))((A4A5)A6))  最小的乘次為15125。

　　解題思路：能用動態規划的一個性質就是最優子結構性質，也就是說計算A[i:j]的最優次序所包含的計算矩陣子璉A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最優的。動態規划算法解此問題，可依據其遞歸式以自底向上的方式進行計算（即先從最小的開始計算）。在計算過程中，保存已解決的子問題答案。每個子問題只計算一次，而在后面需要時只要簡單查一下，從而避免大量的重復計算，最終得到多項式時間的算法。我們可以根據下面這個公式來計算結果。其中p[i-1]表示的是第i個矩陣的行數,p[k]表示i:k矩陣合起來后最后得到的列數，p[j]是k+1:j合起來后得到的列數。這個部分的計算方法其實就是計算兩個矩陣相乘時總共的乘次數，自己琢磨琢磨就明白了。

從連乘矩陣個數為2開始計算每次的最小乘次數m[i][j]: m[0][1] m[1][2] m[2][3] m[3][4] m[4][5]  //m[0][1]表示第一個矩陣與第二個矩陣的最小乘次數

然后再計算再依次計算連乘矩陣個數為3:m[0][2] m[1][3] m[2][4] m[3][5]

　　　　　　　　　   連乘矩陣個數為4：m[0][3] m[1][4] m[2][5]

　　　　　　　　　　連乘矩陣個數為5：m[0][4] m[1][5]

　　　　　　　　　　連乘矩陣個數為6：m[0][5]    //即最后我們要的結果

 

代碼：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX 100


int matrix_chain(int *p, int n, int **m, int **s)
{
    //a[][]最小乘次數
    //s[][]最小乘數時的斷開點
    int i,j,r,k;
    
    for (i = 0; i < n; i++)   //單一矩陣的最小乘次都置為0
    {
        m[i][i] = 0;
    }
    
    for (r = 2; r <= n; r++)  //r為連乘矩陣的個數
    {
        for (i = 0; i <= n-r; i++)   //i表示連乘矩陣中的第一個
        {
            j = i + r -1;         //j表示連乘矩陣中的最后一個
            m[i][j] = 99999;
            for (k = i; k <= j-1; k++)  //在第一個與最后一個之間尋找最合適的斷開點，注意，這是從i開始，即要先計算兩個單獨矩陣相乘的乘次
            {
                int tmp = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i]*p[k+1]*p[j+1];
                if (tmp < m[i][j])
                {
                    m[i][j] = tmp;
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
    return m[0][n-1];
}

void print_chain(int i, int j, char **a,int **s)
{    //遞歸的方式來把最小乘數的表達式輸出

    if (i == j)
    {
        printf("%s",a[i]);
    }
    else
    {
        printf("(");
        print_chain(i,s[i][j],a,s);
        print_chain(s[i][j]+1,j,a,s);
        printf(")");
    }
}

int main()
{
    //min_part[i][j]存儲的是i+1到j+1的最小乘次，因為是從0開始
    //min_point[i][j]存儲的是i+1到j+1之間最小乘次時的分割點
    int *p, **min_part, **min_point;
    char **a;
    int n = 6,i;
    int ret;
    
    p = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));
    a = (char **)malloc(n*sizeof(char*));
    min_part = (int **)malloc(n*sizeof(int *));
    min_point = (int **)malloc(n*sizeof(int *));
    
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        min_part[i] = (int *)malloc(n*sizeof(int));  
        min_point[i] = (int *)malloc(n*sizeof(int));
        a[i] = (char *)malloc(n*sizeof(char));
    }
    
    p[0] = 30;   //第一個矩陣的行數
    p[1] = 35;     //第二個矩陣的行數
    p[2] = 15;     //……
    p[3] = 5;     //……    
    p[4] = 10;     //……
    p[5] = 20;     //第六個矩陣的行數
    p[6] = 25;     //第六個矩陣的列數
    
    a[0] = "A1";
    a[1] = "A2";
    a[2] = "A3";
    a[3] = "A4";
    a[4] = "A5";
    a[5] = "A6";
    
    ret = matrix_chain(p,n,min_part,min_point);
    printf("Minest times:%d.\n",ret);
    print_chain(0,n-1,a,min_point);
    
    free(p);
    free(min_part);
    free(min_point);
    free(a);

    return 0;
}

2013/8/1 23:38