動態規划求解矩陣連乘問題

題目

　　給定n個矩陣{A₁，A₂，…，A_n}（其中，矩陣A_i的維數為p_i-1*p_i，i=1,2,3，…，n），如何確定計算矩陣的連乘積A₁，A₂，…，A_n的計算次序（完全加括號方式），使得此次序計算矩陣連乘積需要的數乘次數最少。

步驟

 

• 分析最優解的結構 

　　將矩陣連乘積A_iA_i+1…A_j簡記為A[i：j]，則原式記為A[1：n]。

　　將矩陣鏈在A_k和A_k+1之間斷開，1≤k<n，則A_iA_i+1…A_j=（A_1...A_k）（A_1...A_k）。我們只要計算A[1：k]以及A[k+1：n]，再將二者相乘則可得出結果。

　　我們只需要保證A[1：k]以及A[k+1：n]的計算次序也是最優的，那么A[1：n]的計算次序也就是最優的了（最優子結構的性質）。

• 建立遞歸關系

　　計待求問題最優值的乘積次數為m[i][j]。

　　i = j 時，A[i: j]=A_i，m[i][j]=0，i=1,2,…，n

　　i < j 時，根據矩陣數乘的性質得：m[ i ][ j ] = m[ i ][ k ] + m[ k+1][ j ] + p_i-1 p_k p_j

　　又因為k的位置未定，而k的可能取值范圍為i，i+1，…，j-1，因此k是這j-1個位置中使得m[ i ][ j ]的值達到最小的位置。可以得到遞推關系

　　 i < j 時 ，m[ i ][ j ] = min { m[ i ][ k ] + m[ k+1][ j ] + p_i-1 p_k p_j }  ， i ≤ k < j

　　將對應m[ i ][ j ]的斷開位置k記為s[ i ][ j ]，則之后可遞歸地由s[ i ][ j ]構造出相應的最優解

• 計算最優值

　　依據其遞歸式，自底向上的計算。

　　下列算法中，輸入參數{p₀，p₁，…，p_n}。

void MatrixChain(int *p, int n, int**m, int **s){
    for{int i=1;i<=n;i++) m[i][j]=0;
    for(int r=2;r<=n;r++){
        for(int r =2;r<=n;r++){
            int j=i+r-1;
            m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];
            s[i][j] = i;
            for(int k =i+1;k<j;k++){
                int t = m[i][k]+m[k+1][j] +  p[i-1]*p[i]*p[j];
                if(t< m[i][j]){ m[i][j] =t ; s[i][j] =k;}
            }
        }
    }
}        

　　該算法先計算出m[ i ][ i ]，然后依次計算m[ i ][ i+1 ]，m[ i ][ i+2 ]，…，m[ i ][ j ]。在計算m[ i ][ j ]時，只需要用到之前計算過的m[ i ][ k ]和m[ k+1 ][ j ]。

　　算法的主要計算量取決於r，i，k的三重循環，因此時間復雜度為O(n³)，空間復雜度為O(n²)。

• 構造最優解

　　s[ i ][ j ]表示A[i: j]的最佳斷開位置為A_k和A_k+1。

　　因此A[1: n]的最佳加括號方式為(A[1: s[ 1 ][ n ]) (A[s[ 1 ][ n ]+1: n])  //s[ i ][ j ]存的是相應的k

　　　　A[1: s[ 1 ][ n ] ] 的最佳加括號方式為(A[ 1 : s[ 1 ][ s[ 1 ][ n ] ] ]) (A[ s[ 1 ][ s[ 1 ][ n ] ] +1 : s[ 1 ][ n ])

　　遞推。

void Traceback(int i, int j, int **s){
    if(i==j) return;
    Traceback(i, s[ i ][ j ],s);
    Traceback(s[ i ][ j ]+1 ,j ,s);

    cout<<"Multiply A" <<i<<", "<<s[ i ][ j ];
    cout<<" and A "<<(s[ i ][ j ]+1)<<", "<<j<<endl;
}

 要輸出A[1: n]的最優計算次序只需要調用Traceback(1 , n, s)即可