矩陣連乘最優結合 動態規划求解

1.引言  多矩陣連乘

對於一般的矩陣乘法來說，如矩陣A(m,n)與矩陣B(n,p)相乘需要進行的加法次數為m*n*p次乘法。

由於矩陣乘法滿足結合律，因此矩陣相乘的結合性，會影響整個計算表達式的乘法執行次數。

如下面的例子，其中A(10,5)、B(5,20)、C(20,3)：

　　　　(1) ((AB)C) 執行乘法次數為1300次

　　　　(2) (A(BC)) 執行乘法次數為450次

2.求最優的矩陣結合表達式

(1)設矩陣連乘積A_iA_i+1…A_j簡記為A[i:j]，設最優計算次序在A_k和A_k+1之間斷開，則加括號方式為：

　　　　((A_iA_i+1…A_k) (A_k+1…A_j) )

則依照這個次序，先計算A[i:k]和A[k+1:j]然后再將計算結果相乘，計算量是：

　　　　A[i:k]的計算量+A[K+1:j]的計算量+它們兩者相乘的計算量

這里的關鍵是：計算A[i:j]的最優次序所包含的兩個子過程（計算A[i:k]和A[K+1:j]）也是最優次序

(2)具體計算

　　設計算A[i,j]需要的乘法次數記為m[i,j]。

　　　　M[i,j] = 0;  　　(i == j，表示一個矩陣，當然不需要乘法運算)

　　　　M[i,j] = min(M[i,k]+M[k+1,j]+pi*pk*pj); 　　(k在[i,j)之間取值，表示分割點的位置，求最適合的分割點使得乘法次數最少)

　　下面是使用動態規划計算6個矩陣連乘的示意圖。可以使用自底向上計算，這樣矩陣的分割點好計算。如先計算01兩個矩陣乘積，在計算02三個矩陣乘積，在計算03四個矩陣乘積：

     　　01 12 23 34 45

     　　02 13 24 35

    　　 03 14 25

     　　04 15

     　　05

 3.程序實例

程序可以根據給出的多個矩陣的行、列，生成最優結合的相乘表達式。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <limits.h>
#include <string>
using namespace std;
///計算M矩陣
int calculate_M(vector<vector<int> >&num,vector<pair<int,int> > &data,vector<vector<int> > &points){
    int len = data.size();
    for(int span = 1;span<len;span++){  ///間隔距離
        for(int col=0;col<len-span;col++){  ///操作起始列

            for(int i=col;i<col+span;i++){
                int tmp = num[col][i] + num[i+1][col+span] + data[col].first*data[i].second*data[col+span].second;
                if(tmp < num[col][col+span]){
                    points[col][col+span] = i;  ///記錄分割點
                    num[col][col+span] = tmp;   ///記錄最少乘法次數
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

///根據記錄的分割點，生成最后的矩陣相乘表達式
string make_result(vector<vector<int> > &points,int t1,int t2){
    if(t1 == t2)
        return string(1,'A'+t1);
    int split = points[t1][t2];
    return "("+make_result(points,t1,split)+"*"+make_result(points,split+1,t2)+")";
}

int main()
{
    vector<pair<int,int>> data; ///保存矩陣的行、列
    data.push_back(make_pair(10,100));  //A
    data.push_back(make_pair(100,5));   //B
    data.push_back(make_pair(5,25));    //C
    data.push_back(make_pair(25,15));   //D
    data.push_back(make_pair(15,20));   //E


    int len = data.size();
    vector<vector<int> > num(len,vector<int>(len)); ///定義二維向量，並預先分配空間，記錄乘法次數
    vector<vector<int> > points(len,vector<int>(len)); ///定義二維向量，並預先分配空間，記錄分割點
    for(int i=0;i<len;i++){
        for(int j=0;j<len;j++){
            points[i][j] = -1;
            if(i == j)
                num[i][j] = 0;  ///自己和自己相乘，所以為0
            else
                num[i][j] = INT_MAX;    ///否則，記為最大整數值
        }
    }

    calculate_M(num,data,points);
    cout<<make_result(points,0,len-1)<<"\t最少乘法次數為:"<<num[0][len-1]<<endl;
    return 0;
}

輸入矩陣，表示每個矩陣的行、列：

輸出最優的結合表達式：