一、概念
通過把原問題分解為相對簡單的子問題的方式求解復雜問題的方法。動態規划常常適用於有重疊子問題和最優子結構性質的問題。
二、題型特點
- 計數
- 有多少種方式走到最右下角
- 求最大值最小值
- 從左上角走到右下角的最大數字和
- 求存在性
- 能否選出k個數使得和為sum
三、如何使用動態規划
這里先看一道LeetCode題。從這道題來學習如何使用動態規划。
Coin Change
給定不同面額的硬幣 coins 和一個總金額 amount。
編寫一個函數來計算可以湊成總金額所需的最少的硬幣個數。
如果沒有任何一種硬幣組合能組成總金額，返回 -1。
示例
輸入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
輸出: 3
解釋: 11 = 5 + 5 + 1
該題是一個求最大最小的動態規划算法題。
與遞歸解法相比，沒有重復計算。
3.1 組成部分一：確定狀態
確定狀態需要有兩個注意的點：最后一步、子問題
1.最后一步
肯定是\(k\)枚硬幣加起來等於11。最后一枚硬幣值假設是\(a_k\)，則剩下的\(k-1\)枚硬幣的值為\(11-a_k\)。
由於是最優解，則11-\(a_k\)的硬幣數一定是最少。
2.子問題
將原問題轉換為子問題，最少用多少枚硬幣拼出\(11-a_k\)
那么\(a_k\)到底是多少，因為有3枚硬幣，所以只可能是1、2、5中的一個。
子問題方程如下：
\(f(11) = min\{f(11-1)+1,f(11-2)+1,f(11-5)+1\}\)
f(11)為拼出面值為11所需的最少硬幣數。
根據以上，使用遞歸的解法：
public class Dp1 {
public int getMinCoin(int X) {
if (X == 0) return 0;
int res = 10000;
if (X >= 1) {
res = Math.min(getMinCoin(X - 1)+1, res);
}
if (X >= 2) {
res = Math.min(getMinCoin(X - 2)+1, res);
}
if (X >= 5) {
res = Math.min(getMinCoin(X - 5)+1, res);
}
return res;
}
public static void main(String[] args) {
Dp1 dp1 = new Dp1();
int result = dp1.getMinCoin(11);
System.out.println(result);
}
}
使用遞歸來解決，有比較多的重復計算，效率比較低。
動態規划會保存計算結果，來避免遞歸重復計算的問題。
3.2 組成部分二：轉移方程
動態規划的解法
狀態f[X]表示，面值為X所需的最小硬幣數。
對於任意的X，滿足
\(f[X] = min\{f[X-1]+1,f[X-2]+1,f[X-5]+1\}\)
意思就是獲取面值大小為X最少需要的硬幣數 = 從（最后一個硬幣選1時，剩下的要湊面值為X-1所需要的最少硬幣數，因為最后一個硬幣選了1，所以硬幣數要+1，即f[x-1]+1）、（f[X-2]+1）、（f[X-5]+1）中選擇一個最少的硬幣數。
3.3 組成部分三：初始條件和邊界情況
設置初始值，考慮邊界情況。
3.4 組成部分四：計算順序**
從上到下，從左到右。
四、LeetCode題完整解法
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[] f = new int[amount+1];
int coin_num = coins.length;
//初始條件
f[0] = 0;
//f[x] = min{f[x-c1]+1,f[x-c2]+1,f[x-c3]+1}
for(int x = 1;x<=amount;x++){
f[x] = Integer.MAX_VALUE;
for(int i = 0;i<coin_num;i++){
// 考慮輸入[2],4，則需要保證f[x-coins[i]] != Integer.MAX_VALUE，即f[x-coins[i]]必須要是存在的狀態
if(x >=coins[i] && f[x-coins[i]] != Integer.MAX_VALUE){
f[x] = Math.min(f[x-coins[i]]+1,f[x]);
}
}
}
// 考慮輸入[2]，3，則amount = -1
if(f[amount] == Integer.MAX_VALUE){
return -1;
}
return f[amount];
}
}
參考文檔
參考視頻
動態規划入門 Introduction to Dynamic Programming
ACM專題講解：DP動態規划
算法數據結構面試通關（經驗全集）