動態規划問題（一）最大切分段數

問題描述

給你一段長為 L 的木棒，現在有三種切分長度 p、q、r，你只能將這根木棒切成在這三種長度內的組合，求這根木棒最大能夠切成多少段。

比如說：現在一根長為 11 的木棒，可以切分的長度為 2、3、5，因此該木棒最多能夠被切成 5 段，分別是：{2、2、2、2、3}

解決思路

由於只能在候選的三個長度內進行組合，因此可以考慮將這根木棒遞歸地按照候選長度進行切分，然后得到最終的組合數。然而，在這里使用遞推地方式可能會更好一些。

解決方案：在每個長度位置檢測是否能夠加上對應的候選長度，如果能加上，那么就是能切分的段數加一，但是可能也會有其它的方案可以組合目標長度，因此需要對比得到最大值。

狀態轉換方程：

$$
f(n) = max(f(n - p), f(n - q), f(n - r)) + 1
$$

 

邊界分析：對於長度為 0 的木棒，不存在相對應的切分方法，因此它的組合數為 0。

實現

public class Solution {
    /**
     * 得到長度為 n 的木棒能夠按照候選的長度組合的最大元素個數
     *
     * @param n : 木棒的長度
     * @param x : 可切成的候選長度 p
     * @param y : 可切成的候選長度 q
     * @param z : 可切成的候選長度 r
     * @return : 能夠切分的最大段數
     */
    public static int maximizeCuts(int n, int x, int y, int z) {
        int[] dp = new int[n + 1];
​
        // 由於有的長度是無法在當前的候選長度集合中進行切分的，因此需要考慮跳過它
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            dp[i] = -1;
​
        // 邊界情況，長度為 0 的木棒對任何候選切分子集切分的段數都為 0
        dp[0] = 0;
​
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            // 如果當前訪問的長度是無法由現有的組合子集組合，那那么就說明不能被切分，跳過它
            if (dp[i] == -1) continue;
​
            /*
                如果當前的長度加上備選的切割長度要小於總共的木棒長度，
                那么就可以將組個分割的子段長度加到現有的長度上，同時增加段數
                由於加上的長度結果可能由多種組合情況，因此要找到最大的組合段數
            */
            if (i + x <= n)
                dp[i + x] = Math.max(dp[i + x], dp[i] + 1);
            if (i + y <= n)
                dp[i + y] = Math.max(dp[i + y], dp[i] + 1);
            if (i + z <= n)
                dp[i + z] = Math.max(dp[i + z], dp[i] + 1);
       }
​
        // 如果目標段數不能由現有的組合段數組合而來，則返回 0
        if (dp[n] == -1) return 0;
​
        return dp[n];
   }
}