最大子數組和問題

（一）最大字數組和問題

　　問題：給定n個整數（可能為負數）組成的序列a[1],a[2]…a[n]，求該序列a[i],a[i+1]…a[j]的子段和的最大值。當所給整數均為負數的時候，定義子段和為0.《百度百科》

• 分析

　　顯然問題可以在O(n^{2)的時間復雜度上解決，但是考慮到當n很大(比如1e}9)時，O(n^{2)的時間復雜度並不能完美的解決這個問題。因此我們是否可以對O(n}2)的代碼進行優化呢？答案是肯定的。
　　不妨設，a[i],a[i+1]...a[j]已經是所求最大子數組和的部分前綴並且已知和為sum且當前最大子數組和為maxx，繼續考慮a[j+1]的情況，如果sum加上a[j+1]可以使和sum大於a[j+1]，則更新sum的值為sum + a[i]反之更新sum的值為a[i]。由此我們可以得到遞推公式

sum = max(sum + a[i], a[i])

　　當sum的值大於已知最大字數組和maxx的時候更新maxx即可。

• Python代碼

import math

def fun(arr):
    n = len(arr)
    if n <= 0:
        return 0
    sum = 0
    maxx = 0
    
    for i in range(0, n):
        sum = max(sum + arr[i], arr[i])
        if sum >= maxx:
            maxx = sum
            
    return maxx

　　代碼地址

• 流程圖

• 單元測試

　　接下來我們使用單元測試來測試一下代碼，一下是單元測試代碼：

import my_math, unittest

arr0 = []
arr1 = [-1, -2, -3, -4]
arr2 = [-2, 11, -4, 13, -2, -5]

class ProductTestCase(unittest.TestCase):
    def test0(self):
        p = my_math.fun(arr0)
        self.assertEqual(0, p, 'Worng Answer!')
    
    def test1(self):
        p = my_math.fun(arr1)
        self.assertEqual(0, p, 'Worng Answer!')
    
    def test2(self):
        p = my_math.fun(arr2)
        self.assertEqual(20, p, 'Worng Answer!')
        
if __name__=='__main__': unittest.main()

　　本測試代碼實現了條件覆蓋，樣例數組arr0為空測試數組長度小於等於0的情況(實際小於0的情況不存在)，arr1數組測試數組值全為負數時返回最大子數組和為0，arr2數組可以測試sum>=maxx的兩個條件。測試代碼結果如下：