最大子數組算法

1. 求最大的子數組的和

題目：輸入一個整形數組，數組里有正數也有負數。數組中連續的一個或多個整數組成一個子數組，每個子數組都有一個和。求所有子數組的和的最大值。要求時間復雜度為O(n)。

例如輸入的數組為1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子數組為3, 10, -4, 7, 2，因此輸出為該子數組的和18。 

如果不考慮時間復雜度，我們可以枚舉出所有子數組並求出他們的和。不過非常遺憾的是，由於長度為n的數組有O(n2)個子數組；而且求一個長度為n的數組的和的時間復雜度為O(n)。因此這種思路的時間是O(n3)。

很容易理解，當我們加上一個正數時，和會增加；當我們加上一個負數時，和會減少。如果當前得到的和是個負數，那么這個和在接下來的累加中應該拋棄並重新清零，不然的話這個負數將會減少接下來的和。基於這樣的思路，我們可以寫出如下代碼。

參考代碼：

#include <iostream>

using namespace std;

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Find the greatest sum of all sub-arrays
// Return value: if the input is valid, return true, otherwise return false
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
bool FindGreatestSumOfSubArray
	(
	int *pData,           // an array
	unsigned int nLength, // the length of array
	int &nGreatestSum     // the greatest sum of all sub-arrays
	)
{
	// if the input is invalid, return false
	if((pData == NULL) || (nLength == 0))
		return false;

	int nCurSum = nGreatestSum = 0;
	for(unsigned int i = 0; i < nLength; ++i)
	{
		nCurSum += pData[i];

		// if the current sum is negative, discard it
		if(nCurSum < 0)
			nCurSum = 0;

		// if a greater sum is found, update the greatest sum
		if(nCurSum > nGreatestSum)
			nGreatestSum = nCurSum;
	}
	// if all data are negative, find the greatest element in the array
	if(nGreatestSum == 0)
	{
		nGreatestSum = pData[0];
		for(unsigned int i = 1; i < nLength; ++i)
		{
			if(pData[i] > nGreatestSum)
				nGreatestSum = pData[i];
		}
	}

	return true;
}

int main()
{
	int arr[] = {1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};
	int iGreatestSum;
	FindGreatestSumOfSubArray(arr, sizeof(arr)/sizeof(int), iGreatestSum);
	cout << iGreatestSum << endl;

	return 0;
}

/* 結果：
18
*/

討論：上述代碼中有兩點值得和大家討論一下：

• 函數的返回值不是子數組和的最大值，而是一個判斷輸入是否有效的標志。如果函數返回值的是子數組和的最大值，那么當輸入一個空指針是應該返回什么呢？返回0？那這個函數的用戶怎么區分輸入無效和子數組和的最大值剛好是0這兩中情況呢？基於這個考慮，本人認為把子數組和的最大值以引用的方式放到參數列表中，同時讓函數返回一個函數是否正常執行的標志。
• 輸入有一類特殊情況需要特殊處理。當輸入數組中所有整數都是負數時，子數組和的最大值就是數組中的最大元素。

2. 求和最大的子數組

如果要想取得與和最大值相應的子數組該怎么辦呢？有了上面的基礎，這也不難，把最大子數組的首尾下標記錄下來就得了。在方法FindGreatestSumOfSubArray中添加兩個參數start和end，用於返回最大子數組的下標，代碼如下：

#include <iostream>

using namespace std;

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Find the greatest sum of all sub-arrays
// Return value: if the input is valid, return true, otherwise return false
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
bool FindGreatestSumOfSubArray
	(
	int *pData,           // an array
	unsigned int nLength, // the length of array
	int &nGreatestSum,    // the greatest sum of all sub-arrays
	int &start,							// Added
	int &end							// Added
	)
{
	// if the input is invalid, return false
	if((pData == NULL) || (nLength == 0))
		return false;

	int nCurSum = nGreatestSum = 0;
	int curStart = 0, curEnd = 0;		// Added
	start = end = 0;					// Added
	for(unsigned int i = 0; i < nLength; ++i)
	{
		nCurSum += pData[i];
		curEnd = i;						// Added

		// if the current sum is negative, discard it
		if(nCurSum < 0)
		{
			nCurSum = 0;
			curStart = curEnd = i + 1;	// Added
		}

		// if a greater sum is found, update the greatest sum
		if(nCurSum > nGreatestSum)
		{
			nGreatestSum = nCurSum;
			start = curStart;			// Added
			end = curEnd;				// Added
		}
	}
	// if all data are negative, find the greatest element in the array
	if(nGreatestSum == 0)
	{
		nGreatestSum = pData[0];
		start = end = 0;				// Added
		for(unsigned int i = 1; i < nLength; ++i)
		{
			if(pData[i] > nGreatestSum)
			{
				nGreatestSum = pData[i];
				start = end = i;		// Added
			}
		}
	}

	return true;
}

int main()
{
	int arr[] = {1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};
	int iGreatestSum, start, end;
	FindGreatestSumOfSubArray(arr, sizeof(arr)/sizeof(int), iGreatestSum, 
		start, end);

	cout << iGreatestSum << ": ";
	for(int i = start; i <= end; i++)
	{
		cout << arr[i] << " ";
	}

	return 0;
}

/* 結果：
18: 3 10 -4 7 2
*/