最大子矩陣和

參考來源：

https://blog.csdn.net/fengyingjie2/article/details/54427146

https://blog.csdn.net/kavu1/article/details/50547401

 

題目：

給定一個矩陣，都是整數，其中(n≤500)，求出其中的最大子矩陣

解題思路：

O（n^2*n^2*n^2）的做法：

很容易想到，可以枚舉一個矩陣的左上角和右下角的坐標確定這個矩陣，然后，再用兩個循環進行統計

O（n^2*n^2）的做法：

對於上面的方法，提前處理一個前綴和，即可省去后面統計的時間復雜度。

正解，即O（n³）事實上並沒有這么多：

想要做對這道題，我們先要明白一個最大子段和算法的做法：

例如數字a={8,-2,3,-11,5}，我們需要求出一段連續數字的最大和是什么

我們的思想是DP

設f[i]表示從1~i這些位置中的最大子段和

如何轉移？對於當前的點i，我們只有兩種狀態，選擇與上一個子段和連接或者自己重新構成一個子段和。

若選，則與1~i-1的最大子段和有關系，即1~i-1的最長子段和加上當前的a[i]，重新構成一個子段和

若不選，則與1~i-1最大子段和沒有關系，自己重新構成了一個子段和

兩者取較大者，即可解決

列出狀態轉移方程：f[i]:=max(a[i],f[i-1]+a[i])

時間復雜度 O(n)

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說了這么多都是鋪墊，下面是重點：

為了能夠在原始矩陣里很快得到從 i 行到 j 行 的上下值之和，我們這里用到了一個輔助矩陣，它是原始矩陣從上到下加下來的。
假設原始矩陣是matrix, 它每一層上下相加后得到的矩陣是total，那么我們可以通過如下代碼實現：

int[][] total = matrix;    
for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++) {    
    for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {    
    total[i][j] += total[i-1][j];    
    }    
}    

如果我們要求第 i 行到第 j 行之間上下值的和，我們可以通過total[j][k] - total[i-1][k] 得到, k 的范圍從1 到 matrix[0].length - 1。
有了這些知識點，我們只需要在所有的情況下，把它們所對應的局部最大子矩陣進行比較，就可以得到全局最大的子矩陣。代碼如下：

public int subMaxMatrix(int[][] matrix) {    
            
        int[][] total = matrix;    
        for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++) {    
            for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {    
                total[i][j] += total[i-1][j];    
            }    
        }    
            
        int maximum = Integer.MIN_VALUE;    
        for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {    
            for (int j = i; j < matrix.length; j++) {    
                //result 保存的是從 i 行 到第 j 行 所對應的矩陣上下值的和    
                                int[] result = new int[matrix[0].length];    
                for (int f = 0; f < matrix[0].length; f++) {    
                    if (i == 0) {    
                        result[f] = total[j][f];    
                    } else {    
                        result[f] = total[j][f] - total[i - 1][f];    
                    }    
                }    
                int maximal = maxSubsequence(result);    
                    
                if (maximal > maximum) {    
                    maximum = maximal;    
                }    
            }    
        }    
            
        return maximum;    
    }