算法探討——再議經典算法問題：求最大子序列和、絕對值最大子序列和以及其區間

算法探討——再議經典算法問題：求最大子序列和、絕對值最大子序列和以及其區間

給定任一數字序列，如{-5,4,-20,16,-2,-3}，求出其最大子序列和，絕對值最大子序列和以及對應的區間，在這個例子中，人肉計算可知最大子序列和為16，區間為[3,3)（數組下標從0開始），而絕對值最大子序列和為-21，區間為[0,2]，那么算法如何描述及實現呢？

在經典的書籍《數據結構與算法分析 C語言描述第2版》中，作者向我們介紹了求最大子序列和的三種算法，時間復雜度從O(N³)下降到O(N)，求最大子序列和絕對值和以及其區間是我對這一問題的擴展。

一、求最大子序列和以及其區間

求最大子序列和的算法相對簡單，並且可以使用動態規划思想將其優化至O(N)，問題的關鍵：前面已輸入的元素的計算結果並不依賴於后面的輸入。

O(N²)算法：N次遍歷數組，對其中每一個元素，繼續遍歷后續每個元素，並求和，如發現比當前和大，替換當前和。

C/C++實現：

int maxsub(const int a[],int n)
{
    int sum, max, i, j, begin, end;
    begin = end = max = 0;
    for(i = 0;i < n;i++)
    {
        sum = 0;
        for(j = i;j<n;j++)
        {
            sum += a[j];
            printf("the second level loop %d loop sum = %d\n",j,sum);
            printf("the second level loop %d loop max = %d\n",j,max);
            if(sum > max)
            {
                max = sum;
                begin = i;
                end = j;
            }
        }
        printf("the %d loop max = %d\n",i+1,max);
    }
    printf("--final-- Begin = %d, End = %d\n",begin,end);
    return max;
}

循環結束后，begin與end的值即對應的區間。
O(N)算法：動態規划思想，也稱on-line algorithm，即，對於每一個輸入，不依賴於后面輸入，對每一個輸入，立即計算其結果，並保存，然后與后續輸入進行比較，若和變大，產生更新。若和總是變小，丟棄之前的輸入。

C/C++實現：

int maxsublinear(const int a[], int n)
{
    int i;
    int curSum = 0; /* 當前序列和 */
    int maxSum = 0; /* 最大序列和 */
    int begin = end = 0;

    /* 開始循環求子序列和 */
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        curSum = curSum + a[i];

        /* 與最大子序列和比較，更新最大子序列和 */
        if (curSum > maxSum)
        {
            maxSum = curSum;
            end = i;
        }

        /* 動態規划部分，舍棄當前和為負的子序列 */
        if (curSum < 0)
        {
            curSum = 0;
            begin = i + 1 >= n ? i : i + 1;
        }
    }
    return maxSum;
}

二、求絕對值最大子序列和以及對應的區間

這個問題是對第一個問題的擴展，但比第一個問題復雜的多，O(N²)算法基本相同，也容易理解。

O(N2) C/C++實現：

int maxabssub(const int a[],int n)
{
    int sum, max, i, j, begin, end;
    begin = end = max = 0;
    for(i = 0;i < n;i++)
    {
        sum = 0;
        for(j = i;j<n;j++)
        {
            sum += a[j];
            printf("the second level loop %d loop sum = %d\n",j,sum);
            printf("the second level loop %d loop max = %d\n",j,max);
            if(abs(sum) > max)
            {
                max = abs(sum);
                begin = i;
                end = j;
            }
        }
        printf("the %d loop max = %d\n",i+1,max);
    }
    printf("--final-- Begin = %d, End = %d\n",begin,end);
    return max;
}

O(N)算法，在竹風撫荷塘同學的幫助下，順利求解。思路其實很簡單，絕對值最大的子序列和，要么是和最大，要么是和最小，類似問題一中O(N)算法，同時求每一個輸入可能得到的最大和或最小和，再比較即可。下面是C/C++代碼實現：

 

int maxAbsSubLinear(int a[], int n)
{
    int posiSum, negaSum, curSum, max, j, begin, end, posiBegin, posiEnd, negaBegin, negaEnd, flag;
    posiSum = negaSum = curSum = max = j = begin = end = posiBegin = posiEnd = negaBegin = negaEnd = flag = 0;

    for(j = 0;j < n;j++)
    {
        if(posiSum + a[j] > a[j])
        {
            posiSum += a[j];
        }
        else
        {
            posiSum = a[j];
            posiBegin = j;
        }
        if(negaSum + a[j] < a[j])
        {
            negaSum += a[j];
        }
        else
        {
            negaSum = a[j];
            negaBegin = j;
        }

        if( abs(posiSum) > abs(negaSum) )
        {
            curSum = abs(posiSum);
            posiEnd = j;
            flag = 1;
        }
        else
        {
            curSum =  abs(negaSum);
            negaEnd = j;
            flag = 0;
        }

        if(curSum > max)
        {
            max = curSum;
            if(flag)
            {
                begin = posiBegin;
                end = posiEnd;
            }
            else
            {
                begin = negaBegin;
                end = negaEnd;
            }
        }

        printf("IN ABS LINEAR -- LOOP %d, posiSum = %d, negaSum = %d, curSum = %d, max=%d, begin = %d, end = %d\n", j+1, posiSum, negaSum, curSum, max, begin, end);
    }

    printf("--LINEAR final-- Begin = %d, End = %d\n",begin,end);
    return max;
}

 

再次感謝竹風撫荷塘同學。