1 //求出最大子序列 4 ,-3,5,-2,-1,2,6,-2 2 #include <stdio.h> 3 int max (int a,int b,int c) 4 { 5 int ret; 6 if(a > b) 7 { 8 ret = a; 9 }else 10 if(a <= b) 11 { 12 ret = b; 13 } 14 if(ret >= c) 15 return ret; 16 else 17 return c; 18 } 19 int Findmaxsum(int box[],int size,int left,int right) //參數(數組名,數組大小,左邊界,右邊界) 20 { 21 int mid = (right + left) / 2; 22 if(left == right) //分治遞歸要注意出口條件 23 { 24 return box[left]; 25 } 26 int leftsum = Findmaxsum(box,size,left,mid ); //求出左半區最大子序列和 ,要有遞歸信任,不要糾結層層深入,假設該函數是正確的。 27 int rightsum = Findmaxsum(box,size,mid + 1,right); //求出右半區最大子序列和 28 int leftbordersum = 0; 29 int rightbordersum = 0; 30 int i; 31 int thissum = 0; 32 for(i = mid + 1 ;i <= right;i++) //求出含有中間分界點的右半區最大子序列和 (如果最大子序列橫跨中間分界點,那么肯定包含中間分界點,) 33 { 34 thissum += box[i]; 35 if(rightbordersum < thissum) 36 { 37 rightbordersum = thissum; 38 } 39 } 40 thissum = 0; 41 for(i = mid ;i >= left;i--) //求出含有中間分界點的左半區最大子序列和 42 { 43 thissum += box[i]; 44 if(leftbordersum < thissum) 45 { 46 leftbordersum = thissum; 47 } 48 } 49 int midsum = leftbordersum + rightbordersum; //橫跨左右半區最大子序列和 50 return max(midsum,leftsum,rightsum); //左半區最大子序列和,右半區最大子序列和,跨半區最大子序列和,三者中最大的為所求者 51 52 53 } 54 int main () 55 { 56 int box[8] = {4,-3,5,-2,-1,2,5,-2}; 57 int ret = 0; 58 ret = Findmaxsum(box,8,0,7); 59 printf("%d",ret); 60 return 0 ; 61 }
此算法時間復雜度為 O(NlogN).
思考1:思考如何求得。
可以先寫出遞推關系式,設T(n)為規模為n時程序運行的時間。
1.觀察到26,27行運用到了遞歸將問題規模縮小了一半且運用了兩次,因此T(n) = 2T(n/2);
2.第35至50得兩個循環規模為n/2即O(n);因此T(n)=2T(n/2)+O(n),由於我們所求者也為大O所以可以寫成T(n)=2T(n/2)+n;
接下來可以有多種解決方法,此處介紹最笨但容易理解簡單的迭代方法
1.設迭代了k次
T(n)=2T(n/2)+n
=2*(2T(n/4)+n/2)+n=2^2T(n/2^2)+2n
...
=2^k T(n/2^k) + kn
由於最后要迭代到基准情形即: n/2^k = 1;因此我們可得k = logn;
2.將k帶入:
=2^(logn)T(n/2^logn)+nlogn;
=nT(1) + nlogn
顯然可以求得:O(nlogn);
思考2:突然想到:為什么二分查找的時間復雜度O(logn)?同樣本質是二分為什么此處O(nlogn)多出n?
二者方法都為“分”,但是二分查找“分”后並不需要"合",而此處的分治法需要“分”求得結果后再“合”。
可以這么想,二分查找O(logn)不難理解,但其本質在於只要找到所求元素,對於其他元素並不關心,
每次遞歸中不符合條件的元素,直接不需要程序繼續處理。程序筆直的朝着縮小范圍的目的地前進,最后
找到一個目標。
而分治“分”后其實並沒有將其中的某一半舍棄,他其實需要處理到每一個元素。簡而言之,二分法“分”
后直接將一半舍棄,分治需要將每一半都處理。分到最后每單個元素都處理過了,然后容易想到既然一個元素
是O(logn),呢么所有n個元素在其前加個n得到O(nlogn)也就自然而然了。
思考3:究竟為什么問題“分”后治之會將時間復雜度降低?
以求最小子序列和為例,用最普通的暴力搜索,第一個與后面n-1個元素做比較,第二個元素n-2次....共[(1+n-1)*(n-1)]/2次;
他的時間復雜度為O(N^2).可將規模為n時計算量近似看成n^2次,用分治法將問題規模縮小一半,則n/2時,計算量n^2/4。由於
有兩半增加了問題數量所以乘以2,所以n^2/4 * 2 = n^2/2;比原來計算量n^2減少n^2/2次。由此減少了計算量,降低了時間復雜度。
關鍵點在於N^2是個平方階,將n規模縮小計算量會以平方階下降,雖然乘以n(線性階)但與下降相比還是少。
本人還才疏學淺,如有錯誤的地方非常感謝大家的指正。!