采樣定理
上節課我們推導了采樣定理的公式，該公式可以說是本課程最重要的公式。
設有帶寬為$p$的函數$f(t)$，在頻域對這個函數用$Ш_p$進行周期化后，再用$\Pi_p$對它進行裁剪，得到的還是原來的函數
$\mathcal{F}f = \Pi_p(\mathcal{F}f*Ш_p)$
最終推導得到
$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p})sinc \left(p(t-\frac{k}{p})\right) }$
在上式中，$p$可被稱為抽樣速率，即每秒的抽樣數目。同時$p$也被稱為奈奎斯特速率（Nyquist rate）。
抽樣速率比$p$高
設實際的抽樣速率為$p'$，$p'>p$，這時仍可以使用上述公式。
這表明實際的抽樣間隔為$\frac{1}{p'}$，$\frac{1}{p'}<\frac{1}{p}$，此時需要更多的抽樣點，而所有的推導結果還是正確的。
相悖的時間與頻率
采樣定理的公式，依賴於函數上無限個采樣值$f(\frac{k}{p}) $，根據這些采樣值我們能從公式得到原函數$f(t)$。而在實際應用中，我們只能得到有限項的采樣值，這會導致計算產生誤差。
一個信號不可能同時在時間與頻率都受限。
這句話的意思是
$\left.\begin{matrix}
&if & \mathcal{F}f(s) \equiv 0 &for &|s|\geqslant\frac{p}{2} \\
&then & f(t)\not\equiv 0 &for &t\ sufficiently\ large
\end{matrix}\right.$
即，如果一個信號在頻率上是受限的，它在時間上的有限遠處必然還存在不為$0$的值。同理，如果一個信號在時間上是受限的，它在頻率的有限遠處也必然還存在不為$0$的值。
$\left.\begin{matrix}
&if &f(t) \equiv 0 &for &t\geqslant\frac{p}{2} \\
&then & \mathcal{F}f(s)\not\equiv 0 &for &s\ sufficiently\ large
\end{matrix}\right.$
由於時間與頻率有着這樣的關系，因此，對於有限帶寬的函數，是不能從有限項抽樣就能得出原函數的整體樣貌的。
關於為何有限帶寬函數在時間上的有限遠處必然還存在不為$0$的值，由如下推導證明
$\mathcal{F}f = \Pi_p(\mathcal{F}f)$
一個有限帶寬函數被$\Pi_p$截斷仍然是原本的函數，即
$\begin{align*}
f(t)
&=\mathcal{F}^{-1}(\Pi_p(\mathcal{F}f))\\
&=(\mathcal{F}^{-1}\Pi_p)*(\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f) \qquad (Fourier\ Convolution\ Theorem)\\
&=psinc(pt)*f(t)
\end{align*}$
因此，對於有限帶寬為$p$的函數$f(t)$，有
$f(t) = psinc(pt)*f(t)$
對於等式的右邊，$sinc$函數是無限延伸的，它在有限遠處必然有不為$0$的值，因此$f(t)$與它的卷積也會在有限遠處有不為$0$的值。
在實際情況中，信號的時間與頻率都是受限的，因為我們不可能無窮地測量，這就是實際情況與數學理論的沖突。
抽樣速率比$p$低（混疊）
當抽樣速率為$p'$，$p'<p$時，周期化的頻譜會出現重疊
重疊會導致疊加，從而重疊部分的頻率曲線上升
用$\Pi_{p'}$截斷后，得到的並不是原始函數的傅里葉變換。
它的逆傅里葉變換為
$\mathcal{F}^{-1}(\Pi_{p'}(\mathcal{F}f*Ш_p))=\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p'})sinc(p'(t-\frac{k}{p'})) }$
但是這並不是$f(t)$，因為$\mathcal{F}f \neq \Pi_{p'}(\mathcal{F}f*Ш_{p'})$。我們把這結果稱為$g(t)$
$g(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p'})sinc(p'(t-\frac{k}{p'})) }$
$f(t)$與$g(t)$在抽樣點$\frac{m}{p'}$（$m$為任意整數）上是相等的。
$\begin{align*}
g(\frac{m}{p'})
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p'})sinc\left(p'(\frac{m}{p'}-\frac{k}{p'})\right)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p'})sinc(m-k)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p'})\frac{sin(\pi(m-k))}{\pi(m-k)} \qquad(sinc = \frac{sin(\pi x)}{x})\\
&=f(\frac{m}{p'}) \qquad
\left( sinc(m-k) = \begin{cases}
1 & \text{,} m=k \\
0 & \text{,} m\neq k
\end{cases}\right )
\end{align*}$
我們可以說$f(t)$與$g(t)$是混疊的（alias），這意思是$f(t)$與$g(t)$不相等，但是它們在采樣點$\frac{m}{p'}$上的采樣值是相等的。
混疊的例子
有頻率為$\frac{9}{4}$的函數
$f(t) = cos\left( \frac{9\pi}{2}t\right)$
它的傅里葉變換為
$\mathcal{F}f(s) = \frac{1}{2}\left( \delta(s+\frac{9}{4}) + \delta(s-\frac{9}{4}) \right)$
因此帶寬為$p=\frac{9}{2}$。
令抽樣頻率為$1$，意味着$p' = \frac{1}{1} = 1$，即有
$\begin{align*}
g(t)
&= \mathcal{F}^{-1}(\Pi_{p'}(\mathcal{F}f*Ш_{p'}))\\
&= \mathcal{F}^{-1}(\Pi(\mathcal{F}f*Ш)\\
&= \mathcal{F}^{-1}\left(\Pi\left(\frac{1}{2}\left(\delta(s+\frac{9}{4})+\delta(s-\frac{9}{4}) \right )*\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(s-k)\right)\right)\\
&= \mathcal{F}^{-1}\left(\Pi\left(\frac{1}{2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\delta(s+\frac{9}{4}-k)+\delta(s-\frac{9}{4}-k) \right ) \right ) \right ) \qquad(\delta\ shift\ property)\\
&= \mathcal{F}^{-1}\left(\frac{1}{2}\left(\delta(s+\frac{1}{4})+\delta(s-\frac{1}{4}) \right ) \right ) \qquad (only\ \delta_{\frac{1}{4}}\ and\ \delta_{-\frac{1}{4}}\ in\ the\ scope\ of\ \Pi)\\
&= cos\left(\frac{\pi}{2}t \right )
\end{align*}$
推導得到的$g(t)$並不等於$f(t)$，而在采樣點$\frac{m}{p'} = \frac{m}{1} = m$（m為任意整數），即$0,\pm 1,\pm 2 …$處的采樣點是一樣的。
