這份是本人的學習筆記，課程為網易公開課上的斯坦福大學公開課：傅里葉變換及其應用。
在傅里葉變換中有時域$f(t)$，頻域$F(s)$，他們的對應關系按照如下方式標記：
$f(t) \ \leftrightarrow \ F(s)$
時延性（Delayed）
$f(t-b) \ \leftrightarrow \ ?$
時延性在時域的表示為$f(t-b)$，函數整體比$f(t)$延后b。那么在頻域該如何變化呢？
$\begin{align*}
&\quad \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t-b)dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(u+b)}f(u)du \quad u=t-b\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isu}e^{-2\pi isb}f(u)du\\
&=e^{-2\pi isb}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isu}f(u)du\\
&=e^{-2\pi isb}F(s)
\end{align*}$
因此，
$f(t-b)\leftrightarrow e^{-2\pi isb}F(s)$
$f(t\pm b)\leftrightarrow e^{\pm 2\pi isb}F(s)$
時域上的時移對應頻域上的相移（Shift in time corresponds to a phase shift in frequency）。令$F(s) = |F(s)|e^{2\pi i\theta(s)}$，其中$|F(s)|$代表振幅（magnitude），$\theta(s)$代表相位（phase），那么，
$e^{-2\pi isb}F(s)=|F(s)|e^{2\pi i(\theta(s)-sb)}$
上面的等式代表了頻譜的振幅不變，而相位改變了。
尺度變化（scaling）
$f(at) \ \leftrightarrow \ ?$
1. 當$a>0$時，
$\begin{align*}
&\quad \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(at)dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(\frac{u}{a})}f(u)d\frac{u}{a} \quad u=at\\
&=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(\frac{s}{a})u}f(u)du\\
&=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})
\end{align*}$
2. 當$a<0$時
$\begin{align*}
&\quad \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(at)dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(\frac{u}{a})}f(u)d\frac{u}{a} \quad u=at\\
&=\frac{1}{a}\int_{\infty}^{-\infty}e^{-2\pi i(\frac{s}{a})u}f(u)du\\
&=-\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(\frac{s}{a})u}f(u)du\\
&=-\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})
\end{align*}$
把兩種情況合在一起，有
$f(at) \ \leftrightarrow \ \frac{1}{|a|}F(\frac{s}{a})$
下面在圖像上觀察時域與頻域具體是如何變化的（以高斯函數為例子）
1. 當$a>1$時，
時域橫向壓縮，頻域橫向擴展、縱向壓縮，即頻域分散
2. 當$0<a<1$時
時域橫向擴展，頻域橫向壓縮、縱向擴展，即頻域集中
上述情況表面了時域與頻域不可能同時在一個方向上壓縮與擴展。
卷積（convolution）
卷積可能算是信號處理中最重要的運算了。
信號處理可以被理解為：如何用一個函數（信號）調制另一個函數（信號）。（Signal Processing can be said to how can you use one function(signal) to modify another.）
大部分情況下，信號處理是着力於改變信號的頻譜，也就是說，先對信號進行傅里葉變換，然后在頻域進行處理，之和進行傅里葉逆變換得到處理過后的信號。
線性處理
即兩個信號線性疊加
$\begin{align*}
\mathcal{F}(f+g)
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}(f(t)+g(t))dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{-2\pi ist}f(t)+e^{-2\pi ist}g(t)\right)dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt+\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}g(t)dt\\
&=\mathcal{F} f + \mathcal{F} g
\end{align*}$
頻域相乘處理
$\begin{align*}
\mathcal{F}(f)\mathcal{F}(g)
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}g(t)dt\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}g(x)dx\\
&=\iint_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}e^{-2\pi isx}g(t)f(x)dtdx\\
&=\iint_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(t+x)}g(t)f(x)dtdx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(t+x)}g(t)dt \right )f(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(u)}g(u-x)du \right )f(x)dx \quad u=t+x\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}g(u-x)f(x)dx \right )e^{-2\pi isu}du\\
\end{align*}$
令$h(u) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}g(u-x)f(x)dx }$，
那么，
$(\mathcal{F} g)(\mathcal{F} f) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isu}h(u)du }$
卷積定義
卷積用符號$*$表示，運算方法如下
$(g*f)(x) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}g(x-y)f(y)dy }$
$\mathcal{F}(g*f) = (\mathcal{F} g)(\mathcal{F} f)$
信號的卷積的傅里葉變換等於對這些信號進行傅里葉變換后的乘積。