算法設計-全排列遞歸

排列：從n個元素中任取m個元素，並按照一定的順序進行排列，稱為排列；

全排列：當n==m時，稱為全排列；

比如：集合{ 1,2,3}的全排列為：

{ 1 2 3}

{ 1 3 2 }

{ 2 1 3 }

{ 2 3 1 }

{ 3 2 1 }

{ 3 1 2 }

我們可以將這個排列問題畫成圖形表示，即排列枚舉樹，比如下圖為{1,2,3}的排列枚舉樹，此樹和我們這里介紹的算法完全一致；

算法思路：

(1)n個元素的全排列=（n-1個元素的全排列）+（另一個元素作為前綴）；

(2)出口：如果只有一個元素的全排列，則說明已經排完，則輸出數組；

(3)不斷將每個元素放作第一個元素，然后將這個元素作為前綴，並將其余元素繼續全排列，等到出口，出口出去后還需要還原數組；

這里先把集合中的元素理解為不會出現重復了，那么實現的方法（C++）如下：

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#include <iostream>
using namespace std;

int sum = 0;//記錄有多少種組合

void Swap(char str[], int a, int b)
{
    char temp = str[a];
    str[a] = str[b];
    str[b] = temp;
}

void Perm(char str[], int begin, int end)
{
    if (begin == end)
    {
        for (int i = 0; i <= end; i++)
        {
            cout << str[i];
        }
        cout << endl;
        sum++;
        return;
    }
    else
    {
        for (int j = begin; j <= end; j++)
        {
            Swap(str, begin, j);
            Perm(str, begin + 1, end);
            Swap(str, j, begin);
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    char c[16];
    char tmp;


    cin >> n;
    tmp = getchar();    // 接受回車
    if (1 <= n && n <= 15) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            c[i] = getchar();
        }
        Perm(c, 0, n - 1);
    }
    cout << sum;
    cout << endl;
    return 0;
}

實現后效果如下圖：

有重復元素的排列問題

然后現在的題目要求是排列中的元素是包含相同元素的，給定n以及待排的n個可能重復的元素。計算輸出n個元素的所有不同排列，因此上面那個算法顯然還是不夠好，因為相同的元素都當成不同的元素，因此有了重復的排列在里面

去掉重復符號的全排列：在交換之前可以先判斷兩個符號是否相同，不相同才交換，這個時候需要一個判斷符號是否相同的函數。也就是下面的IsSwap（）；

對122，第一個數1與第二個數2交換得到212，然后考慮第一個數1與第三個數2交換，此時由於第三個數等於第二個數，所以第一個數不再與第三個數交換。再考慮212，它的第二個數與第三個數交換可以得到解決221。

去掉重復的規則：去重的全排列就是從第一個數字起每個數分別與它后面非重復出現的數字交換。

#include <iostream>
using namespace std;

int sum=0;//記錄有多少種組合

void Swap(char str[], int a, int b)
{
    char temp = str[a];
    str[a] = str[b];
    str[b] = temp;
}

bool IsSwap(char *pchar, int nBegin, int nEnd)
{
    for (int i = nBegin; i < nEnd; i++)
        if (pchar[i] == pchar[nEnd])
            return false;
    return true;
}

void Perm(char str[], int begin, int end)
{
    if (begin==end)
    {
        for (int i = 0; i <= end; i++)
        {
            cout << str[i];
        }
        cout << endl;
        sum++;
        return;
    }
    else
    {
        for (int j = begin; j <= end; j++)
        {
            if (IsSwap(str, begin, j))
            {
                Swap(str, begin, j);
                Perm(str, begin + 1, end);
                Swap(str, j, begin);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    char c[16];
    char tmp;


    cin >> n;
    tmp = getchar();    // 接受回車
    if (1 <= n && n <= 15) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            c[i] = getchar();
        }
        Perm(c, 0, n - 1);
    }
    cout << sum;
    cout << endl;
    return 0;
}

 

非遞歸的實現

實現思路：

要考慮全排列的非遞歸實現，先來考慮如何計算字符串的下一個排列。如"1234"的下一個排列就是"1243"。只要對字符串反復求出下一個排列，全排列的也就迎刃而解了。

如何計算字符串的下一個排列了？來考慮"926520"這個字符串，我們從后向前找第一雙相鄰的遞增數字，"20"、"52"都是非遞增的，"26 "即滿足要求，稱前一個數字2為替換數，替換數的下標稱為替換點，再從后面找一個比替換數大的最小數（這個數必然存在），0、2都不行，5可以，將5和2交換得到"956220"，然后再將替換點后的字符串"6220"顛倒即得到"950226"。

對於像"4321"這種已經是最“大”的排列，采用STL中的處理方法，將字符串整個顛倒得到最“小”的排列"1234"並返回false。

//全排列的非遞歸實現
#include <iostream>
using namespace std;
void Swap(char *a, char *b)
{
    char t = *a;
    *a = *b;
    *b = t;
}
//反轉區間
void Reverse(char *a, char *b)
{
    while (a < b)
        Swap(a++, b--);
}
//下一個排列
bool Next_permutation(char a[])
{
    char *pEnd = a + strlen(a);
    if (a == pEnd)
        return false;
    char *p, *q, *pFind;
    pEnd--;
    p = pEnd;
    while (p != a)
    {
        q = p;
        --p;
        if (*p < *q) //找降序的相鄰2數,前一個數即替換數
        {
            //從后向前找比替換點大的第一個數
            pFind = pEnd;
            while (*pFind <= *p)
                --pFind;
            //替換
            Swap(pFind, p);
            //替換點后的數全部反轉
            Reverse(q, pEnd);
            return true;
        }
    }
    Reverse(p, pEnd);//如果沒有下一個排列,全部反轉后返回true
    return false;
}
int QsortCmp(const void *pa, const void *pb)
{
    return *(char*)pa - *(char*)pb;
}
int main()
{
    int sum = 0;
    char szTextStr[16];
    cin >> szTextStr;
    char tmp = getchar();    // 接受回車
    
    //加上排序
    qsort(szTextStr, strlen(szTextStr), sizeof(szTextStr[0]), QsortCmp);
    int i = 1;
    cout << endl << endl << endl;
    do{
        cout<<szTextStr<<endl;
        sum++;
    } while (Next_permutation(szTextStr));

    cout << sum<<endl;
    return 0;
}

 

總結：

排列在筆試面試中很熱門，在百度和迅雷的校園招聘以及程序員和軟件設計師的考試中都考到了，因此了解全排列算法對我們都很有好處。也是算法的一個基本思想。遞歸算法的思路比較直，而非遞歸的就比較難去想到使用這種方法來實現。

1．全排列就是從第一個數字起每個數分別與它后面的數字交換。

2．去重的全排列就是從第一個數字起每個數分別與它后面非重復出現的數字交換。

3．全排列的非遞歸就是由后向前找替換數和替換點，然后由后向前找第一個比替換數大的數與替換數交換，最后顛倒替換點后的所有數據。

 

參考文獻：http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/7370155/