回溯算法 - 全排列

（1）問題描述：對於給定的集合 A{a1,a2,...,an}，其中的 n 個元素互不相同，如何輸出這 n 個元素的所有排列（全排列），時間復雜度為O(2ⁿ)；

　　例如：{a, b, c}

　　全排列：{a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}

（2）回溯算法思想：

　　這里以 A{a, b, c} 為例，來說明全排列的生成方法，對於這個集合，其包含 3 個元素，所有的排列情況有 3!=6 種，對於每一種排列，其第一個元素有 3 種選擇 a, b, c，對於第一個元素為 a的排列，其第二個元素有 2 種選擇 b, c；第一個元素為 b 的排列，第二個元素也有2種選擇a，c，……，依次類推，我們可以將集合的全排列與一棵多叉樹對應。如下圖所示：

　　

（3）算法代碼：

public class FullPermutation {

    /**
     * 存放數據數組
     */
    private static Integer[] data;

    /**
     * 數據數量
     */
    private static Integer num;

    /**
     * 交換數據
     */
    public static void swap(int x, int y) {
        Integer temp = data[x];
        data[x] = data[y];
        data[y] = temp;
    }

    /**
     * 初始化數據
     */
    private static void initData() {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        System.out.println("請輸入數據數量:");
        num = input.nextInt();
        System.out.println("請輸入數組數據");
        data = new Integer[num];
        for (int i = 0; i < data.length; i++) {
            data[i] = input.nextInt();
        }
    }

    /**
     * 遞歸回溯排列樹求解
     */
    private static void backtrack(int t) {
        if (t == data.length) {
            System.out.print("排列樹為: ");
            Stream.of(data).forEach(element -> System.out.print(element + " "));
            System.out.println();
        }
        for (int i = t; i < data.length; i++) {
            swap(t, i);
            backtrack(t + 1);
            swap(t, i);
        }

    }


    public static void main(String[] args) {
        // 初始化數據
        initData();

        // 遞歸回溯排列樹求解
        backtrack(0);
    }

}

（4）輸入輸出

請輸入數據數量:
4
請輸入數組數據
1 2 3 4
排列數為: 1 1 2 3 
排列數為: 1 1 3 2 
排列數為: 1 2 1 3 
排列數為: 1 2 3 1 
排列數為: 1 3 2 1 
排列數為: 1 3 1 2 
排列數為: 1 1 2 3 
排列數為: 1 1 3 2 
排列數為: 1 2 1 3 
排列數為: 1 2 3 1 
排列數為: 1 3 2 1 
排列數為: 1 3 1 2 
排列數為: 2 1 1 3 
排列數為: 2 1 3 1 
排列數為: 2 1 1 3 
排列數為: 2 1 3 1 
排列數為: 2 3 1 1 
排列數為: 2 3 1 1 
排列數為: 3 1 2 1 
排列數為: 3 1 1 2 
排列數為: 3 2 1 1 
排列數為: 3 2 1 1 
排列數為: 3 1 2 1 
排列數為: 3 1 1 2 

（5）總結：回溯算法是有一定的規律可循的，根據問題，找出解空間的組織結構，選擇恰當的解決方案：回溯算法模板。

　　回溯算法一般采用深度優先的方式，遞歸求解，人的思維一般對遞歸求解的問題有一定的想象難度，建議在紙上根據代碼的流程，畫一畫走一遍詳細的過程，便於理解回溯算法的核心要點。