算法學習（一） 全排列的幾種遞歸算法

      全排列是算法學習的一個初級問題，也是近幾年IT公司比較熱衷的問題。最近因為一個朋友的實際問題用到了類似全排列的算法，所以把相關的代碼總結一下。

一、問題描述

      全排列的問題非常簡單，比如給定三個數字1、2、3，請將三個數字的所有排列組合按大小順序給出。這樣我們期待的結果就是：123，132，213，231，312，321

二、第一種遞歸算法分析

      對於給定的n個數字，顯然有n！種排列方式。關鍵在於怎樣將所有的排列得到，一種顯然的方式是首先選出第一位上的數字，然后回溯選擇第二位上的數字，然后是第三位……只需要確保每一位上選擇的數字不重復就可以了。這種算法比較好理解，遞歸也比較好設計，先上代碼（c++）：

#include<iostream>
#include<fstream>
using namespace std;

ifstream fin;
ofstream fout;
int flags[100];
int numbers[100];
int n;

void search(int loc){
    if(loc==n){
        fout<<numbers[0]+1;
        for(int i=1;i!=n;i++)
            fout<<","<<numbers[i]+1;
        fout<<endl;
    }else{
        for(int i=0;i!=n;i++)
            if(flags[i]){
                flags[i]=0;
                numbers[loc]=i;
                search(loc+1);
                flags[i]=1;
            }
    }
}

int main(){
    
    //fin.open("input.txt",ios::in);
    fout.open("QPL.txt",ios::out);
    
    cin>>n;
    for(int i=0;i!=n;i++)
        flags[i]=1;
    search(0);
}

      算法的關鍵就是search函數的實現。首先是退出條件的確定，search函數從左到右每個坑里填一個數字，當loc==n的時候填完所有的坑，這樣一個排列便完成了。然后是往每個坑里填數字的過程，就是那個for循環，對於每個坑數字從0到n填，同時判定沒有重復使用。

      這種實現的好處是比較直觀，可拓展性比較強。大家可以試一下修改邊界條件的判定標准會有什么效果。

三、第二種遞歸算法分析

      網上還有這樣一種看似簡潔的遞歸算法。算法通過觀察全排列的產生方式，以123為例，他的全排列為123，132，213，231，312，321.通過觀察可以發現，123的全排列就是1+（23的全排列）加上2+（13的全排列）加上3+（12的全排列）這里的遞歸的設計就是1+perm（23）然后交換1和2再執行2+perm（13）然后交換2和3執行3+perm（23）。

      代碼設計如下：

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <stdlib.h>

using namespace std;

void swap(char *a,char *b)
{
    char temp;
    temp=*a;
    *a=*b;
    *b=temp;
}

void Perm(char *pszStr, int k, int m)
{
    if (k == m)
    {
        static int s_i = 1;
        cout<<"the "<<s_i ++<<" line"<<pszStr<<endl;
    }
    else
    {
        for (int i = k; i <= m; i++) //第i個數分別與它后面的數字交換就能得到新的排列
        {
            swap(pszStr + k, pszStr + i);
            Perm(pszStr, k + 1, m);
            swap(pszStr + k, pszStr + i);//恢復現場
        }
    }
}

int main(int argc, const char * argv[])
{
    char str[]="1234";
    Perm(str,0, 3);
    return 0;
}