亂談數學－－我理解的函數極限運算

極限是一個非常重要概念，但也很難理解。

極限概念的出現，主要是因為微積分發展到 18 世紀末的時候還沒有一個嚴格的基礎，雖然微積分作為一種工具，很強大，解決了很多問題，但基礎卻一直不穩固。到了18世紀末，柯西和威爾斯特拉斯把基礎的問題解決了，解決的手段就是引入極限。

那什么是極限：

對於一個函數 y = f(x)，當 x 趨進於數 a 時，則 y 的極限是 b，指的是：對於數 b 任意一個領域 V （無論這個領域多小），一定能找到一個領域 U，使得當 x 的值在除 a 點以外的任意一個領域 U 內時，y 的值總在 V 范圍內。

用數學語言來說：

用符號來表示即 ，a 與 b 是兩個沒有關系的實數，f 是一個定於於包含 a 的開區間（不包含 a 點）上的實值函數，則

表示對於任意的 ε > 0，都存在一個 δ > 0，使得當滿足 0 < | x - a | < δ 時總有 | f(x) - b | < ε。

極限概念想說什么：

就是說，無論函數 f(x) 在 x = a 這個點上有沒有定義，如果有定義的話，這個定義值是什么，對於 y = f(x) 這么一個函數，x 在不斷靠近 a 的時候，那么 y 的值會不斷靠近 b，如果 x 變成 a 了，那么 y的值會由於“慣性”變成 b 。（我們在 x = a 這個點上，填上 y = b 這個值，這句話后面再解釋）

注意，我的理解與“數學書上的解釋”是不一致的，當然就不是“學科意義上正確”的了。數學書上告訴我們的是 x “不會成為 a”，它只會不斷地逼近 a，它會離 a 點“任意地近”，距離可以小於“任意給出的一個正數”，能小於任意一個正數的數是什么？不就是零么？但數學家們很別扭地就不承認它，而要繞開它，叫它“無窮小”，或是“過程無窮小量”。為什么呢？為了避開“函數在點 a 處可能沒有定義”這么一個尷尬的問題。這個問題影響很嚴重，因為導數的定義中，就是希望分母變成 0，但變成 0 了代數運算又沒意義，也就是它是個希望它等於 0 但又不能讓它等於 0 的“東西”。一方面我們要有“分母為 0 時的”值，一方面又要避開除以 0 沒有意義。怎么辦？用極限來解決，說：△x 是一個無限接近於 0 但又不等於 0 的量，因為不等於 0，所以可以進行除法，又因為無限接近於 0，所以最終得到的值是一個准確值而不是一個近似值。（如果是近似值，那極限就沒有能解決導數和積分定義的基礎問題，因為導數和積分最近都是可以得到准確值而不是近似值的運算）

可能是對連續統（實數理論）的理解還不夠深，“這個無限逼近”對我來說造成了理解上的困難。因為我總會覺得“x沒有到達點 a”，那么 “y 就沒有到達點 b”，一個“無限逼近 b 的值”怎么會等於 b 呢？於是我被堵在這了。

好吧，只能自己來安慰自己，給自己一個暫時上邏輯上能說得通的說法以繼續前行（等以后學了更多東西，有了新的理解之后再修正）。

在數學分析八講第二章講極限的時候看到一句話，說極限是一種“分析運算”，另外，在很多人談對極限理解，以及不少教材上，也都說極限是一個“過程運算”。這一點很重要，極限是一種“新類型”的運算，與中學時代學過的傳統的代數運算不一樣，代數運算是靜態的運算，而極限是一種動態的，反應變化的運算。舉個不一定恰當的例子，代數運算是知道我在北京，有張到上海的預定表，所以我很清楚地知道了我下一站就一定是上海，但我不知道也不管我是怎么去的。但極限則是這樣一種運算，那就是我坐在火車上，我的導航儀地不斷告訴我現在的位置，我發現自己在去京滬線上上，而且隨着時間的流逝越來越接近上海，於是我可以肯定，按這個“規律”等到車停下來的時候，我一定是在上海的，但最終我未必會真的到上海，也許就在火車停下的那一刻，車爆炸了，我變得“不存在了”。所以極限運算這種分析運算，是用來刻畫按函數變化規律時的函數的取值規律的。所以它最終 x ＝a 這個點函數的表現並不關心，只關心到這個點之前函數的變化規律，並以此推測函數在 x = 0 時的值。

這樣的話，我解決了自己的兩個問題：

一、當 △x → 0 時，△x 作分母會不會有問題？不會，因為 △x 是一個極限運算中“對變化的表示”，他不是“靜態的數”，所以不必要遵守“代數運算定律”，它可以作分母參與運算（也就是 △x 可以在分子分母同時抵消）。

從另一個角度說，代數除零“沒有意義”是人為規定的，但其實也可以說“有無數種意義”，但因為運算的數據是靜態的，無法確定這時候的運算是什么意義。但極限運算比代數有更多的信息，那就是，值是有函數關系的，這種函數關系會限定“除零”成某一種意義（也就是取得一個值），如果這個函數關系也定不出這個值，那么直觀地說就是“沒有極限”。

二、“無限逼近”是不是“等於”的問題，在我看來就不存在了，因為我把極限看成“按這個規律下去，會取到什么值”，這個值不是x無限逼近a時 y 的值，而是 x 在除 a 點以外 y 取值過程可以推測出 x ＝ a 時 y = b。再強調一次，雖然大部我們會接觸到的函數，x＝a 的極限就是 y = f(a)，但是，極限運算中是不管真實的 x ＝ a 時， y 有沒有定義，以及 y 的值是多少的。

所以，目前數學中定義的極限運算就是這樣一種運算。我必須明白這只是觀察函數的一種視角，這種視角是動態的，與變化規律相聯系的。但是，人類的知識是積累起來的，特別是數學家，總是把待求解的問題盡可能地轉化成已求解的問題進行計算。我們要最終計算出極限值的時候，還是要依靠代數運算這種人類已經掌握得“很好”地運算。

讓我再回到極限地定義，至少上面的理解，並不與這個定義有矛盾之處。也體會到了這個定義的牛X之處。因為非常簡潔又很嚴格而沒有歧義。這個定義解決了微積分的基礎問題。而且這個定義給出了“求極限的一般代數方法”。在這個定義下，我們也可以得到極限的各種計算法則和重要性質。這樣，我們可以通過一般方法求到常用的函數的極限，再用這些計算法則加常見極限計算出更復雜的函數的極限。而且也從數學上給出了極限唯一性的性質，這種性質是函數的一個非常重要的性質，它直接決定了微分和積分的存在。

想想第一篇和第三篇都很直接地一直在講函數，是的，在理解三角函數和極限的過程中，我更新了自己對函數的理解，后面找時間整理下。