在本系列中，我的個人見解將使用斜體標注。每篇文章的最后，我將選擇摘錄一些例題。由於文章是我獨自整理的，缺乏審閱，難免出現錯誤，如有發現歡迎在評論區中指正。 目錄 Part 1：基 Part 2：維數 例題 Part 1：基 基的定義是源自於上一節中得到 ...

本篇為MIT公開課——線性代數 筆記。 假設有一個\(m*n\)矩陣 \(A\) ，\(n>m\) ,並准備求解 \(Ax=0\)。未知數個數大於方程個數。前面已經學過這個算法。 線性相關性 定義： 除了系數全部為零，如果不存在結果為零向量的組合，則向量組線性無關 ...

1. 線性相關性 矩陣 \(A\) 的列是線性不相關的當且僅當 \(Ax=\boldsymbol0\) 的唯一解是 \(x=\boldsymbol0\)。沒有其它的線性組合能給出零向量。 在三維空間中，如果三個向量 \(v_1, v_2, v_3\) 不在同一個平面中，那它 ...

變換是線性代數主要解決的問題。就是你看一個事物是一個樣子，別人看實物其實是另外一個樣子，但是其實這個事 ...

1. 恆等變換 現在讓我們來找到這個特殊無聊的變換 \(T(\boldsymbol v)=\boldsymbol v\) 對應的矩陣。這個恆等變換什么都沒有做，對應的矩陣是恆等矩陣，如果輸出的基和輸入的基一樣的話。 如果 \(T(\boldsymbol v_j)=\boldsymbol ...

2.1 線性組合 定義：向量 及 的線性組合（Linear Combination）為 。 線性組合的各種情況： （線性的含義）固定一個向量，讓另外一個向量自由伸縮，那么所產生向量的終點最終落在一條直線上 ; 讓兩個向量自由移動，這樣加和后我們就能得到所有可能的向量 ...

筆記目錄 基變換的基本含義 選取不同的基，可以構成不同的坐標系。 而不同的坐標系可以用不同的語言描述同一個向量，變換矩陣等等。 不同坐標系間可以用基變換矩陣進行翻譯。 基變換矩陣的列空間由基向量組成。 如下圖 矩陣的基變換 設該矩陣為A，該矩陣在我們的坐標系下能使一個向量逆時針 ...

線性無關、基、維數 線性無關 Independence 假定有 \(m\times n\) 的矩陣 \(A\) ，以列向量形式表示：\(\begin{bmatrix}v_1 & v_2 & \cdots & v_n\end{bmatrix ...