概率論筆記（一）——概率的基本概念、事件的運算、古典概型、幾何概型

隨機事件與概率

隨機試驗、隨機事件、樣本空間（本質是基本事件的集合）

隨機試驗

在相同條件下對某隨機現象進行的大量重復觀測。

1. 可重復性：試驗在相同條件下可重復進行；
2. 可知性：每次試驗的可能結果不止一個，並且事先能明確試驗所有可能的結果；
3. 不確定性：進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現，但必然會出現結果中的一個。

隨機事件和樣本空間

在隨機試驗中，可能出現也可能不出現，而在大量重復試驗中具有某種規律性的事件叫做隨機事件(簡稱事件)，分為簡單事件和復合事件。隨機事件通常用大寫英文字母A、B、C等表示。隨機試驗中的每一個可能出現的試驗結果稱為這個試驗的一個樣本點，記作\(\omega_i\)。全體樣本點組成的集合稱為這個試驗的樣本空間，記作\(Ω\)．即\(Ω=\{ω_1，ω_2，…，ω_n，…\}\)。僅含一個樣本點的隨機事件稱為基本事件，含有多個樣本點的隨機事件稱為復合事件。

樣本空間是針對某個特定的隨機試驗而言的。

事件的運算

和運算和積運算

1. 事件A與B的並(和)，記為\(A\cup B\)。其含義為“由事件A與B中所有的樣本點(相同的只計入一次)組成的新事件”，或用概率論的語言描述：“事件A發生或者事件B發生”或“事件A與B中至少有一個發生”。
2. 事件A與B的交(積)，事件A和B同時發生。A和B的乘積，記為A\(\cap\) B。

對立事件

有且僅有一個事件發生。若A\(\cup\)B=\(\Omega\)且AB=\(\emptyset\)，記為A=\(\overline B\)。根據德摩根律可得：

\[\overline\bigcup\limits_{n=1}A_i=\bigcap\limits_{i=1}\overline {A_k}\\ \overline\bigcap\limits_{n=1}A_i=\bigcup\limits_{i=1}\overline {A_k} \]

互不相容的事件

A和B互不相容：\(A,B\in E;AB=\empty\)

兩兩互不相容的一組事件叫做一組互不相容的事件組。

差運算

A發生而B不發生，稱A為B的差，記為A-B，當然也可以表示為\(A\overline B\)。

一些改寫規則：

• 若A\(\sub\)B，則A-B=\(\empty\)
• A-B=A-AB
• A=AE=A(B\(\cup\)\(\overline B\))=AB\(\cup\)A\(\overline B\)
• A\(\cup\)B=A\(\cup\)(B\(\overline A\))=B\(\cup\)(A\(\overline B\))

運算規律

1. 等冪律

   \[A \cap A =A\\ A \cup A =A \]

2. 結合律

\[A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\\ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\\ (A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus C)\\ \]

3. 交換律

   \[A \cup B = B \cup A\\ A \cap B = B \cap A\\ A \oplus B = B \oplus A\\ \]

4. 分配律

   \[A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\\ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \]

5. 同一律

   \[A \cap E =A\\ A \cup \empty = A\\ A - \empty = A\\ A \oplus \empty = A \]

6. 零律

   \[A \cap \empty = \empty\\ A \cup E = E \]

7. 補余律

   \[A \cap \sim A = \empty\\ A \cup \sim A = E \]

8. 吸收律

   \[A \cup (A \cap B) = A\\ A \cap (A \cup B) =A \]

9. 德.摩根律

   \[A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)\\ A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C)\\ \sim(A \cup B) = \sim A \cap \sim B\\ \sim(A \cap B) = \sim A \cup \sim B\\ \sim \empty = E\\ \sim E = \empty \]

10. 雙重否定律

    \[\sim \sim A = A \]

概率

概率，亦稱“或然率”，它是反映隨機事件出現的可能性大小。隨機事件是指在相同條件下，可能出現也可能不出現的事件。

【非負性\(P(A)\ge0\)，規范性\(P(\Omega)=1\)，可列可加性(互不相容的事件之和的概率等於其概率之和)】

概率空間：(\(\Omega, F,P\))。

\(\Omega\)：樣本空間，簡單事件的集合。

\(F\)：時間域，所有事件的集合。

\(P\)：集合函數，事件的概率。

古典概率

去除掉了需要重復n次的大量試驗。

1. 樣本空間的元素是有限個。
2. 每個基本事件的可能性相同。

設試驗E只有n個基本事件，事件A由m個基本事件復合而成。

則有

\[P(A)\triangleq \frac{m}{n} \]

模型1：分房模型

若n只球隨機地放入N(N≥n)個盒子中去，求下列的概率：

1. 某指定的n個盒子里各有一個球

2. 每個盒子中至多有一個球

3. 某指定的一個盒子中恰有m(≤n)個球

解題思路：符號化事件，判斷問題所屬類型（古概/幾概），選用對應問題的模型來解題。為了避免混淆，宜采用排列代替組合。

1. 令A為事件“某指定的n個盒子里各有一個球”，由於是古典概型，找到A對應的事件個數a，找到總事件個數b，利用公式

   \[P(A)=\frac ab \]

   即可。

   總事件個數\(b=N^n\)，表示每個小球都有N種選擇，共有n個小球。

   事件A的個數\(a=A_n^n=n!\)，表示在已經選定的n個盒子里小球進行全排列。則\(P(A)=\frac{n!}{N^n}\)

2. 令B為事件“每個盒子中至多有一個球”，與第一問的區別在於需要自己去選擇n個盒子，然后再給它們全排列丟進去，差距就是\(C_N^n\)，因此\(P(B)=\frac{C_N^nn!}{N^n}\)

3. 令C為事件“某指定的一個盒子中恰有m(≤n)個球”，事件總數為\(C_n^m(N-1)^{n-m}\)，因此\(P(C)=\frac{C_n^m(N-1)^{n-m}}{N^n}\)

做完題后要分析結論，通過改寫概率表達式的形式獲得新的理解。

\(P(C)=\frac{C_n^m(N-1)^{n-m}}{N^n}=C_n^m(\frac 1N)^m(\frac{N-1}{N})^{n-m}\)

幾何概率

幾何概率的基本思想是把事件與幾何區域對應，利用幾何區域的度量來計算事件發生的概率。定義與古概類似，區別就是樣本空間變為了有限區域，樣本點仍均勻分布。

模型1：甲、乙兩人相約在0到T時間段內約會，先到的人經過t(<T)后離開，則會面的概率：

設x和y分別為甲、乙到達的時間。

\[\Omega=\{{(x,y)}|0\le x,y\le T\}\\ |x-y|\le t \]

設A為會面，則\(P(A)=\frac{L(A)}{L(\Omega)}=\frac{T^2-(T-t)^2}{T^2}\)

概率運算的公式

1. 加法公式——多個事件和的概率：

\[P(\bigcup\limits_{i=1}^nA_i)=s_1-s_2+s_3-s_4+s_5-\cdots+(-1)^{n-1}s_n\\ 其中的s_k=\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n}P(A_{i_1}\cdots A_{i_k}) \]

例如：

\[P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) \]

例題：n封信扔進n個郵筒，每封信投入與之編號相同的郵筒里才算正確，問至少有一封信正確的概率是多少：

設至少有一封信正確為事件B，\(A_i\)表示第i封信正確投入第i個郵筒。

\[P(B)=P(\bigcup\limits_{i=1}^nA_i)=s_1-s_2+s_3-s_4+s_5-\cdots+(-1)^{n-1}s_n \]

\(P(A_1)\)表示第1封信正確投對的概率，

\[\begin{align*} &P(A_1)=\frac{1(n-1)!}{n!}=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac 1n\\ &s_1=n\times P(A_1)=1 \end{align*} \]

\(P(A_1A_2)\)表示第1、2封信正確投對的概率，

\[\begin{align*} &P(A_1A_2)=\frac{11(n-2)!}{n!}=\frac{(n-2)!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)}\\ &s_2=C_n^2P(A_1A_2)=\frac{C_n^2}{n(n-1)}=\frac{1}{2!} \end{align*} \]

依次類推，得到\(s_k=\frac{1}{k!}\)，代入P(B)：

\[\begin{align*} P(B)=&s_1-s_2+s_3-s_4+s_5-\cdots+(-1)^{n-1}s_n\\ =&1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n!}\\ =&\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\frac{1}{i!}\\ =&-\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i}}{i!}\\ =&1-\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^{i}}{i!} \end{align*} \]

由於\(e^x\)的麥克勞林展開式為

\[e^x=\sum_{i=0}^{n}\frac{x^{i}}{i!}+O(x^n) \]

則

\[P(B)=1-e^x+O(x^n) \]

顯然帶入\(n\to \infty\)且\(x=-1\)時，\(P(B)=1-e^{-1}\)，即當信封和郵筒無窮多時，至少有一封信投對的概率為\(1-e^{-1}\)。

誤差為

\[|P(B)-(1-e^-1)|=O(x^n)<\frac{1}{(n+1)!} \]

2. 乘法公式在條件概率下介紹。

3. 連續性：運算和取極限可以交換次序。

   

條件概率

\[P(A|B)\triangleq\frac{P(AB)}{P(B)},P(B)>0 \]

乘法公式——多個事件積的概率：

\[P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1\cdots A_{n-1})\\ 條件是P(A_1A_2\cdots A_{n-1})>0。 \]

1. 互不相容又叫互斥，即兩個事件不能同時發生，強調“同時發生”。發生了A就不能發生B，發生了B就不能發生A.

2. 相互獨立即使兩個事件各自發生與否與另一個事件的發生與否沒有關系；A和B獨立的意思就是，A發生和B發生沒有關系，A發生不會影響B發生，A和B也可能同時發生，不過A和B互不影響。

其中加法公式要求互不相容；乘法公式要求相互獨立。