假設現在輸入一個整數，希望通過某種方式來求得該整數的平方根，要求得到盡可能大的精度。
和 LeetCode 上的原題 LeetCode 69 不同，這里要求得到盡可能大的精度，因此一般的二分法無法處理這個問題
處理思路
考慮定義一個函數 \(f(x) = x ^ 2 - a\)，那么當 \(f(x)\) 為 \(0\) 時，所對應的正 \(x\) 坐標就是 \(a\) 的平方根。現在，在 \(f(x)\) 上的任意一點，做出 \(f(x)\) 處對應的切線，此時的橫坐標為 \(x_i\)，這條切線和 \(X\) 軸的交點的橫坐標為 \(x_{i + 1}\)，具體如下圖所示：
由於在 \(f(x)\) 處的切線的斜率為當前位置的 \(f(x)\) 的倒數，因此有如下的關系：
\[f(x_i) / (x_i - x_{i + 1}) = f'(x_i) \]
將該關系進行轉換，可以得到 \(x_{i + 1}\) 和 \(x_i\) 之間的對應關系：
\[x_{i + 1} = x_i - f(x_i) / f'(x_i) \]
由於 \(f(x) = x^2 - a\)，由求導公式可得 \(f'(x) = 2x\)，將其帶入上述的公式可得：
\[\begin{aligned} x_{i + 1} &= x_i - (x_i^2 - a) / 2x_i \\ &=x_i - x_i / 2 + a / 2x_i\\ &=(x_i + a/x_i) / 2 \end{aligned} \]
當 \(x_i\) 非常接近 \(\sqrt a\) 時，則有如下的對應關系：
\[x_{i + 1} = (\sqrt a + \sqrt a) / 2 = \sqrt a \]
即經過不斷地迭代，最終結果收斂於 \(\sqrt a\)
編碼實現
public static double sqrt(int n) {
int ub = 20; // 20 次左右的迭代可以解決 32 位有符號整數的平方根
double y = 0.5 * n; // 初始值默認為 0.5 倍的 n，如果能夠取得更好的初始值，算法性能會有進一步的提升
double rootx = Math.sqrt(n); // 實際平方根，用於比較
for (int i = 0; i < ub; ++i) {
System.out.printf("%05d: %25.16f %25.16f\n", i, y, Math.abs(y - rootx) / rootx);
double newy = 0.5*(y + (double) n / y); // 迭代
if (newy == y) {
System.out.println("Converged");
break;
}
y = newy;
}
return y;
}
時間復雜度：可以看到，如果有一個合適的初始值，牛頓迭代法可以是一個常數時間內的操作，即 \(O(1)\)
空間復雜度：只需要少量的幾個中間變量，因此空間復雜度為 \(O(1)\)
參考：
[1] 《編程珠磯（續）》Jon Bentley 第 14 章 編寫數值計算程序