牛頓迭代法：
牛頓迭代法又稱為牛頓-拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數f(x）的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根，此時線性收斂，但是可通過一些方法變成超線性收斂。另外該方法廣泛用於計算機編程中。
牛頓迭代公式：
設r是f(x) = 0的根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0,f(x0））做曲線y = f(x）的切線L，L的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0），求出L與x軸交點的橫坐標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0），稱x1為r的一次近似值。過點（x1,f(x1））做曲線y = f(x）的切線，並求該切線與x軸交點的橫坐標 x2 = x1-f(x1）/f'(x1），稱x2為r的二次近似值。重復以上過程，得r的近似值序列，其中x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)），稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。
牛頓迭代法求平方根：
求平方根在牛頓迭代公式中，f(x)=x^2-a，則f'(x）=2x。以上的牛頓迭代公式變為：x(n+1）=x(n）-(x(n)^2-a)/2x，即(x(n)+a/x(n))/2。我們隨便猜一個數r，假設r是f(x)=0的根，經過幾次牛頓迭代公式后（以上的公式）所得到的x值即是f(x)=0的根或者其非常精確的近似值。
例如：我想求根號2等於多少。假如我猜測的結果為4，雖然錯的離譜，但你可以看到使用牛頓迭代法后這個值很快就趨近於根號2了：
( 4 + 2/4 ) / 2 = 2.25
( 2.25 + 2/2.25 ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..
盜圖一張以作說明，圖片來自http://www.2cto.com/kf/201206/137256.html。
..
程序實現：
#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
double sqrtNT(double a,double b)
{
double x,last;
x=b;
if(a<=0)
{
return a;
}
while(x*x!=a&&(abs(last-x)>0.0000001))
{
last=x;
x=(x+a/x)/2;
}
return x;
}
int main()
{
cout<<sqrtNT(93273,5)<<endl;
return 0;
}