牛頓迭代法求求一個數的算術平方根

產生背景: 牛頓 迭代法（ Newton's method）又稱為 牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson
method），它是 牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數f(x）的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x)
= 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程f(x) =
0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根，此時線性收斂，但是可通過一些方法變成超線性收斂。另外該方法廣泛用於計算機編程中。

牛頓迭代公式

　　設r是f(x) = 0的根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0,f(x0））做曲線y = f(x）的切線L，L的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0），求出L與x軸交點的橫坐標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0），稱x1為r的一次近似值。過點（x1,f(x1））做曲線y = f(x）的切線，並求該切線與x軸交點的橫坐標 x2 = x1-f(x1）/f'(x1），稱x2為r的二次近似值。重復以上過程，得r的近似值序列，其中x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)），稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。

 

　　解非線性方程f(x)=0的牛頓法是把非線性方程線性化的一種近似方法。把f(x）在x0點附近展開成泰勒級數 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +…
取其線性部分，作為非線性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展開的前兩項，則有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0
設f'(x0）≠0則其解為x1=x0－f(x0)/f'(x0) 這樣，得到牛頓法的一個迭代序列：x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)）。

 

牛頓迭代法示意圖

　　軍人在進攻時常采用交替掩護進攻的方式，若在數軸上的點表示A，B兩人的位置，規定在前面的數大於后面的數，則是A>B，B>A交替出現。但現在假設軍中有一個膽小鬼，同時大家又都很照顧他，每次沖鋒都是讓他跟在后面，每當前面的人占據一個新的位置，就把位置交給他，然后其他人再往前占領新的位置。也就是A始終在B的前面，A向前邁進，B跟上，A把自己的位置交給B（即執行B
= A操作），然后A 再前進占領新的位置，B再跟上……直到占領所有的陣地，前進結束。像這種兩個數一前一后逐步向某個位置逼近的方法稱之為迭代法。

　　迭代法也稱輾轉法，是一種不斷用變量的舊值遞推新值的過程，跟迭代法相對應的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性解決問題。迭代算法是用計算機解決問題的一種基該方法。它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重復執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變量的原值推出它的一個新值。

 

　　利用迭代算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：

　　一、確定迭代變量。在可以用迭代算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個變量就是迭代變量。

　

      二、建立迭代關系式。所謂迭代關系式，指如何從變量的前一個值推出其下一個值的公式（或關系）。迭代關系式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。

　　三、對迭代過程進行控制。在什么時候結束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重復執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制；對於后一種情況，需要進一步分析出用來結束迭代過程的條件。 (摘自百度百科:http://baike.baidu.com/view/643093.htm)

 

參考代碼如下：

/**

只考慮非負實數的算術平方根，

如果要考慮完全，則自己再修改

*/

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;

int main()
{
    double a ;
    cin>>a ;
    double x = 1 ;
    while(x*x - a > 0.0000001 || x*x - a < -0.0000001)
    {
       x = (x + a/x)/2 ;
    }
    cout<< fabs(x) ;
    return 0;
}