牛頓法求平方根步驟

 

牛頓法步驟：

　　1. 以y = (x - 2) * (x - 2) 函數為例，先任意選取一點A，在曲線上做A點的切線，交X軸與B點，在B做X軸的垂線，交曲線於C點。

　　

　　2. 在曲線上做C點的切線，交X軸與D點，在D點做X軸的垂線，交曲線於E點。我們可以看到D點比B點更加接近方程(x - 2) * (x - 2) = 0的根（x = 2）

　　

　　3. 在曲線上做E點的切線，交X軸與F點，在F點做X軸的垂線，交曲線於G點。可以看到G點比D點更加接近方程的根

　　4. 按照這個方式不斷迭代會離方程的根越來越近，以此得到近似根。

三、牛頓迭代法求平方根代碼實現

　　要求是這樣：輸入一個數，輸出其對應的平方根。

　　假設輸入的數是 m，則其實是求一個 x 值，使其滿足 x² = m，令 f(x) = x² - m ，其實就是求方程 f(x) = 0 的根。那么 f(x) 的導函數是 f'(x) = 2x。

　　那么 f(x) 函數的曲線在 (x_n，x_n² - m) 處的切線的斜率是：2x_n，因此切線方程是：y = 2x_n (x - x_n) + x_n² - m。故切線與x軸的交點是：x_n+1 = (x_n + m / x_n ) / 2

　　根據牛頓迭代法，首先應該在曲線 f(x) 上任意選取一點，做切線。那么，我們直接把輸入的數 m，作為選取的點的橫坐標，即 x₀ = m，然后根據上式進行迭代。

 

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

// err 是允許的誤差
const double err = 1e-8;

double NtSqrt(const double num)
{
    if (num < 0)
    {
        return -1;
    }
    else
    {
        double root = num;
        // 如果原值減去近似根的平方大於誤差，繼續循環
        while (abs(num - root * root) >= err)
        {
            // 得到下一個近似根
            root = (num / root + root) / 2.0;
        }
        return root;
    }
}

int main()
{
    double num;
    cout << "請輸入一個數: ";
    cin >> num;
    double ans = NtSqrt(num);
    if (ans == -1)
    {
        cout << "負數沒有平方根" << endl;
    }
    else
    {
        cout << num << " 的平方根是 " << ans << endl;
    }
    return 0;
}

　　

轉自：

https://www.cnblogs.com/upcan/p/9907402.html