算法 - 牛頓迭代法求平方根

[LeetCode(Q69)] Sqrt(x) (編程實現sqrt)

 

Q: 

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

A:

這里給出兩種實現方法：一是二分搜索，二是牛頓迭代法。

1. 二分搜索

對於一個非負數n，它的平方根不會小於大於（n/2+1）（謝謝@linzhi-cs提醒）。在[0, n/2+1]這個范圍內可以進行二分搜索，求出n的平方根。

 1 int sqrt(int x) {
 2     long long i = 0;
 3     long long j = x / 2 + 1;
 4     while (i <= j)
 5     {
 6         long long mid = (i + j) / 2;
 7         long long sq = mid * mid;
 8         if (sq == x) return mid;
 9         else if (sq < x) i = mid + 1;
10         else j = mid - 1;
11     }
12     return j;
13 }

注：在中間過程計算平方的時候可能出現溢出，所以用long long。

2. 牛頓迭代法

   為了方便理解，就先以本題為例：

   計算x² = n的解，令f(x)=x²-n，相當於求解f(x)=0的解，如左圖所示。

   首先取x₀，如果x₀不是解，做一個經過(x₀,f(x₀))這個點的切線，與x軸的交點為x₁。

   同樣的道理，如果x₁不是解，做一個經過(x₁,f(x₁))這個點的切線，與x軸的交點為x₂。

   以此類推。

   以這樣的方式得到的x_i會無限趨近於f(x)=0的解。

   判斷x_i是否是f(x)=0的解有兩種方法：

   一是直接計算f(x_i)的值判斷是否為0，二是判斷前后兩個解x_i和x_i-1是否無限接近。

 

經過(x_i, f(x_i))這個點的切線方程為f(x) = f(x_i) + f’(x_i)(x - x_i)，其中f'(x)為f(x)的導數，本題中為2x。令切線方程等於0，即可求出x_i+1=x_i - f(x_i) / f'(x_i)。

繼續化簡，x_i+1=x_i - (x_i² - n) / (2x_i) = x_i - x_i / 2 + n / (2x_i) = x_i / 2 + n / 2x_i = (x_i + n/x_i) / 2。

有了迭代公式，程序就好寫了。關於牛頓迭代法，可以參考wikipedia以及百度百科。

 1 int sqrt(int x) {
 2     if (x == 0) return 0;
 3     double last = 0;
 4     double res = 1;
 5     while (res != last)
 6     {
 7         last = res;
 8         res = (res + x / res) / 2;
 9     }
10     return int(res);
11 }

牛頓迭代法也同樣可以用於求解多次方程的解。

P.S. 本題是求解整數的平方根，並且返回值也是整型。在上述代碼基礎上稍微做修改，就可以同樣適用於double（僅限方法2）。

 1 double sqrt(double x) {
 2     if (x == 0) return 0;
 3     double last = 0.0;
 4     double res = 1.0;
 5     while (res != last)
 6     {
 7         last = res;
 8         res = (res + x / res) / 2;
 9     }
10     return res;
11 }