牛頓迭代法

1. 迭代公式建立

將在點的Taylor展開如下：

一階泰勒多項式：

近似於

解出x記為，則

2. 牛頓迭代法的幾何解析

在處做曲線的切線，切線方程為：

令得切線與x軸的交點坐標為，這就是牛頓迭代法的迭代公式。因此，牛頓法又稱“切線法”。

Newton迭代法的特點是：

1. 對初值的選取要求較高。一般的，Newton迭代法只有局部收斂性，當初值在收斂區間里時，收斂速度很快(平方收斂)。但初值離方程根x*較遠時，不能保證Newton迭代法收斂。

2. Newton迭代法求單根時，收斂速度很快(平方收斂)。但如果方程根是重根，則收斂速度較慢，且重數越高速度越慢。但當是m重根時,用下面的迭代格式：

則至少能保持平方收斂。

3.應用：用有Newton迭代法求

求解：設，則

取

程序實現：

#define ABS(VAL) (((VAL)>0)?(VAL):(-(VAL)))   
//用牛頓迭代法求浮點數的平方根   
double mysqrt(float x) {   
    double g0,g1;   
    if(x==0) 
        return 0;   
    g0=x/2;   //初值
    g1=(g0+x/g0)/2;   
    while(ABS(g1-g0)>0.01) //終止條件  
    {   
        g0=g1;   
        g1=(g0+(x/g0))/2;   //迭代規則
    }   
    return g1;   
}

或

double sqr(double n) {
    double k=1.0;
    while(abs(k*k-n)>1e-9) {
        k=(k+n/k)/2;
    }
    return k;
}

附加：

1. Newton下山法

由於當初值離方程根較遠時，不能保證Newton迭代法收斂，但一旦進入收斂區間，則收斂速度很快。為使盡快進入收斂區間，常采用Newton下山法：

稱為下山因子

具體做法如下：

1. 選取初值
2. 取下山因子（可修改）
3. 計算
4. 計算並比較與的大小：
若，則
         1） 當時，取，結束；
         2） 當時，將作為新的值繼續計算；
若，則取，返回3。

2. 弦截法（方程常用的求解方法）

將Newton切線法中的切線斜率用弦的斜率替換：