牛頓迭代法 求方程根

牛頓迭代法

 

 

牛頓迭代法（Newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。

方法使用函數f(x）的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根，此時線性收斂，但是可通過一些方法變成超線性收斂。另外該方法廣泛用於計算機編程中。

 

計算公式

設r是f(x) = 0的根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0,f(x0））做曲線y = f(x）的切線L，L的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0），求出L與x軸交點的橫坐標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0），稱x1為r的一次近似值。過點（x1,f(x1））做曲線y = f(x）的切線，並求該切線與x軸交點的橫坐標 x2 = x1-f(x1）/f'(x1），稱x2為r的二次近似值。重復以上過程，得r的近似值序列，其中x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)），稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。

解非線性方程f(x)=0的牛頓法是把非線性方程線性化的一種近似方法。把f(x）在x0點附近展開成泰勒級數 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其線性部分，作為非線性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展開的前兩項，則有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 設f'(x0）≠0則其解為x1=x0－f(x0)/f'(x0) 這樣，得到牛頓法的一個迭代序列：x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)）。

已經證明，如果是連續的，並且待求的零點是孤立的，那么在零點周圍存在一個區域，只要初始值位於這個鄰近區域內，那么牛頓法必定收斂。 並且，如果不為0, 那么牛頓法將具有平方收斂的性能. 粗略的說，這意味着每迭代一次，牛頓法結果的有效數字將增加一倍。

 

例題：華為OJ

求解立方根

題目描述

•計算一個數字的立方根，不使用庫函數

詳細描述：

•接口說明

原型：

public static double getCubeRoot(double input)

輸入:double 待求解參數

返回值:double  輸入參數的立方根

 

輸入描述:

待求解參數 double類型

輸出描述:

輸入參數的立方根 也是double類型

輸入例子:

216

輸出例子:

6.0

#include "iostream"
#include "string"
#include "vector"
#include "algorithm"
#define E 0.005

using namespace std;

double getCubeRoot(double num)
{
    double x0, x1;
    x0 = num;
    x1 = x0 - (x0*x0*x0 - num) / (2 * x0*x0);
    while (x1 - x0 > E || x1 - x0 < -E)
    {
        x0 = x1;
        x1 = x0 - (x0*x0*x0 - num) / (2 * x0*x0);

    }
    return x1;

}

int main()
{
    double n;
    cin >> n;
    cout<<getCubeRoot(n);

}