3.牛頓迭代法求解方程的根

牛頓迭代法求解方程的根

引題：用牛頓迭代法求下列方程在值等於x附近的根： $2x^3-4x^2+3x-6=0$
輸入：輸入x。
輸出：方程在值等於x附近的根，占1行。
輸入示例：1.5
輸出實例：2

1. 牛頓迭代公式推導

設多項式 $f(x)$，設r是 $f(x)$的根。
選取 $x_0$作為r的初始近似值。
過點 $(x_0,f(x_0))$做曲線 $y=f(x)$的切線L。得L： $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
則L與x軸交點的橫坐標為 $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$，那么稱 $x_1$為r的一次近似值。
過點 $(x_1,f(x_1))$做曲線 $y=f(x)$的切線，並求該切線與x軸交點的橫坐標 $x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$，稱 $x_2$為r的二次近似值。
重復以上過程，得r的近似值序列。
其中， $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$稱為r的n+1次近似值。
所以， $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$即為牛頓迭代公式。

2. 牛頓迭代公式核心思想

核心思想：使用泰勒級數的線性項近似計算函數 $f(x)=0$的根。把 $f(x)$在點 $x_0$的某領域內展開成泰勒級數，取其線性部分（即泰勒展開的前兩項），並令其等於0。
泰勒級數展開式：
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+…+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}+R_n(x)$
線性部分：
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
令其為0，並以此作為非線性方程 $f(x)=0$的近似方程，即切線方程，得到公式： $x=x_0-\frac{f(x)}{f'(x)}$
將其推廣，即可以得到牛頓迭代公式： $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(double x)//函數
{
    return 2*pow(x,3)-4*pow(x,2)+3*x-6;
}

double f1(double x)//導函數
{
    return 6*pow(x,2)-8*x+3;
}

int main()
{
	float x;
	cin >> x;
	do
	{
		x = x - f(x)/f1(x);
	}while( f(x)>1e-5 || f(x)<-(1e+5) );//控制精度，逼近處理

	cout << x << endl;
}