迭代法求解方程（組）的根

 

 

摘自福星師哥的博客在這里給出鏈接https://blog.csdn.net/Akatsuki__Itachi/article/details/80719686

 

首先，迭代法解方程的實質是按照下列步驟構造一個序列x0,x1,…,xn,來逐步逼近方程f(x)=0的解:

1）選取適當的初值x0；

2）確定迭代格式，即建立迭代關系，需要將方程f(x)=0改寫為x=φ(x)的等價形式；

3)   構造序列x0，x1，……，xn，即先求得x1=φ(x0)，再求x2=φ(x1)，……如此反復迭代，就得到一個數列x0， x1，……，xn，若這個數列收斂，即存在極值，且函數 φ(x)連續，則很容易得到這個極限值,x*就是方程f(x)=0的根。

 

舉個例子：

求解方程： f(x) =x^3-x-1=0  在區間 （1，1.5）內的根。

首先我們將方程寫成這種形式：

用初始根x0=1.5帶入右端，可以得到

這時，x0和x1的值相差比較大，所以我們要繼續迭代求解，將x1再帶入公式得

直到我們我們得到的解的序列收斂，即存在極值的時候，迭代結束。

下面是這個方程迭代的次數以及每次xi的解（i=0,1,2....）

 

我們發現當k=7和8的時候，方程的解已經不再發生變化了，這時候我們就得到了此方程的近似解。

 

#define eps 1e-8
int main()
{
    x0=初始近似根；
    do{
        x1=x0;
        x0=g(x1); //按特定的方程計算新的近似根
    }while(fabs(x0-x1)>eps);
    printf("方程的近似根是%f\n",x0);
}

 

注意：如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，那么迭代過程就會變成死循環。因此，在使用迭代算法前應先考察方程是否有解，並在算法中對迭代次數給予限制。

 

下面再寫一個求解方程組的例子加深一下理解：

 

算法說明：

方程組解的初值X=（x0，x1，…，xn-1）,迭代關系方程組為：xi=gi(X)(i=0,1,…,n-1),w為解的精度,maxn為迭代次數。

算法如下：

算法核心：

int main()
{
    for (i=0; i<n; i++)
        x[i]=初始近似根;
    do
    {
        k=k+1;
        for(i=0; i<n; i++）
            y[i]=x[i];
        for(i=0; i<n; i++)
            x[i]=gi(X);   //按特定的方程計算新的近似根
        c=0;
        for(i=0; i<n; i++)
            c=c+fabs(y[i]-x[i]);//c要每次重新設初值為0
    }while(c>eps and k<maxn );
    for(i=0; i<n; i++)
        print("變量的近似根是"，x[i]);
}

 

選取初始向量 

精確度為1e-8，迭代次數為100

求解代碼如下：

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define eps 1e-8
using namespace std;
const int maxn=100;
double x[10],y[10];
int main()
{
    for(int i=1;i<=4;i++)
        x[i]=0;
    int cnt=0;
    double c=0;
    do{
        for(int i=1;i<=4;i++)
            y[i]=x[i];
        for(int i=1;i<=4;i++)
        {
            x[1]=(6+x[2]-2*x[3])/10;
            x[2]=(25+x[1]+x[3]-3*x[4])/11;
            x[3]=(-11-2*x[1]+x[2]+x[4])/10;
            x[4]=(15-3*x[2]+x[3])/8;
        }
        c=0;
        for(int i=1;i<=4;i++)
            c+=(fabs(y[i]-x[i]));
    }while(c>eps&&cnt<maxn);
    for(int i=1;i<=4;i++)
        printf("x%d = %.4lf\n",i,x[i]);
}

 

運行結果如下：

 

迭代法求解方程的過程是多樣化的，比如二分逼近法求解，牛頓迭代法等。

下面就是效率比較高且比較常用的牛頓迭代法：

牛頓迭代法又稱為切線法，它比一般的迭代法有更高的收斂速度，如下圖所示。

首先, 選擇一個接近函數f(x)零點的x0, 計算相應的f(x0)和切線斜率f'(x0)（這里f '  表示函數f的導數）。然后我們計算穿過點   (x0,f (x0))且斜率為f '(x0)的直線方程

和x軸的交點的x的坐標，也就是求如下方程的解

將新求得交點的x坐標命名為x1。如圖4所示，通常x1會比x0更接近方程f(x) = 0的解。接下來用x1開始下一輪迭代 .

迭代公式可化簡為：

上式就是有名的牛頓迭代公式。已經證明, 如果f'  是連續的, 並且待求的零點x是孤立的, 那么在零點x周圍存在一個區域, 只要初始值x0位於這個鄰近區域內, 那么牛頓法必定收斂。

 

求形如ax^3+bx^2+cx+d=0方程根的算法，系數a、b、c、d的值依次為1、2、3、4，由主函數輸入。求x在1附近的一個實根。求出根后由主函數輸出。

 

由以上的公式可得到代碼：

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define eps 1e-8
using namespace std;
int main()
{
    double a,b,c,d;
    cin>>a>>b>>c>>d;
    double x1=1,x,f,fx;
    do{
        x=x1;
        f=((a*x+b)*x+c)*x+d;
        fx=(3*a*x+2*b)*x+c;
        x1=x-f/fx;
    }while(fabs(x1-x)>=eps);
    printf("%.2lf",x1);
}

結果如下：

 

接下來說一下二分逼近法

用二分法求解方程f(x)=0根的前提條件是：f(x)在求解的區間[a,b]上是連續的，且已知f(a)與f(b)異號，即 f(a)*f(b)<0。

令[a0,b0]=[a,b]，c0=(a0+b0)/2，若f(c0)=0，則c0為方程f(x)=0的根；否則，若f(a0)與f(c0)異號，即 f(a0)*f(c0)<0，則令[a1,b1]=[a0,c0]；若f(b0)與f(c0)異號，即 f(b0)*f(c0)<0，則令[a1,b1]=[c0,b0]。

 依此做下去，當發現f(cn)=0時，或區間[an,bn]足夠小，比如| an-bn |<0.0001時，就認為找到了方程的根。

 

例：

用二分法求一元非線性方程f(x)= x^3/2+2x^2-8=0（其中^表示冪運算）在區間[0，2]上的近似實根r，精確到0.0001.

算法如下：

 

int main( )
{
    double x,x1=0,x2=2,f1,f2,f;
    print(“input a,b (f(a)*f(b)<0)”);
    input(a,b);
    f1=x1*x1*x1/2+2*x1*x1-8;
    f2=x2*x2*x2/2+2*x2*x2-8;
    if(f1*f2>0)
    {
        printf("No root");
        return;
    }
    do{
        x=(x1+x2)/2;
        f=x*x*x/2+2*x*x-8;
        if(f=0)
            break;
        if(f1*f>0.0)
        {
            x1=x;
            f1=x1*x1*x1/2+2*x1*x1-8;
        }
        else
            x2=x;
    }
    while(fabs(f)>=1e-4);
    print("root=",x);
}