自控理論 第6章 II 相對穩定性、伯德圖和閉環頻率響應

6.4 相對穩定性分析

前邊的討論大多局限於穩定或不穩定，現在討論如果穩定，能有多穩定。這在實際中是很需要的，畢竟實際中充滿了干擾。

6.4.1 使用保角變換分析相對穩定性

等我之后復習（預習）一下復變函數再過來補這一節吧。。。

6.4.2 \(\mathcal H_\infty\)控制

健壯（robust）控制（實在不想用“魯棒”這種莫名其妙的翻譯💢）相關，不會先留着。。。

6.4.3 幅值裕度和相位裕度

定義

• 幅值裕度

  定義相位交越頻率\(\omega_1\in(0,\infty)\)，其滿足\(\angle G_o(j\omega_1)=-\pi\)，則幅值裕度為

  \[K_g=\frac{1}{|G_o(j\omega_1)|} \]

  使用分貝表示則是（用的多）

  \[K_g\mathrm{dB}=20\log K_g=-20\log |G_o(j\omega_1)| \]

  • 當討論幅值裕度的正負時，討論的就是用分貝表示的，容易知道，當\(|G_o(j\omega_1)|\ge1\)時，\(K_g\mathrm{dB}\le0\)，反之則\(K_g\mathrm{dB}>0\)。

  • 假如奈奎斯特曲線來回穿越實軸，也即是有多個\(\omega\)滿足\(\angle G_o(j\omega)=-\pi\)，這時候幅值裕度該取哪一個點來計算？

    課上沒有提但是有個題涉及到了，我自己感覺如果穩定當前系統穩定，該取\((-1,j0)\)左側最近的點；如果不穩定，該取右側最近的點。

• 相位裕度

  定義幅值交越頻率\(\omega_2\in(0,\infty)\)，其滿足\(|G(j\omega_2)|=1\)，則相位裕度為

  \[\gamma=\pi+\angle G(j\omega_2) \]

幅值裕度和相位裕度單獨使用不能描述系統的相對穩定性，合在一塊才可以。

最小相位系統裕度的圖形意義

• 一個幅值裕度和相位裕度都很大的系統，比較穩定

  

• 一個幅值裕度很大但是相位裕度很小的系統，對相角的擾動很可能使系統不穩定

  

• 一個幅值裕度很小但是相位裕度很大的系統，對幅值的擾動很可能使系統不穩定

  

上述幾幅圖說明，對於最小相位系統，只有幅值裕度和相位裕度都大於0系統才能穩定。

• 注意，該結論只對最小相位系統成立。

6.5 伯德圖

奈奎斯特圖中頻率沒有得到定量體現，伯德圖在這方面可以作為補充。

6.5.1 引入

• 使用對數的原因
  • 橫坐標\(\omega\)：系統需要考慮的頻率很寬有可能從及赫茲（機械結構）到幾兆赫茲（電子系統）
  • 縱坐標\(|G(j\omega)|\)：系統經常需要作出修正，對數將乘法化為加法看起來更直觀。
• 定義：對數化的頻率響應曲線即是伯德圖
  • 振幅響應兩個軸都取對數
  • 幅角相應只有橫軸取對數

6.5.2 常用環節的伯德圖

常數環節

表達式如下

\[G(j\omega)=K_m\\ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} 20\log\left|G(j\omega)\right|&=20\log K_m\\ \angle G(j\omega)&=0 \end{aligned} \right. \]

微/積分環節

表達式如下

\[G(j\omega)=(j\omega)^{\pm1}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} 20\log\left|G(j\omega)\right|&=\pm20\log\omega\\ \angle G(j\omega)&=\pm \frac{\pi}{2} \end{aligned} \right.\\ \]

一階微分/慣性環節

• 表達式

  \[G(j\omega)=(1+j\omega T)^{\pm1}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} 20\log\left|G(j\omega)\right|&=\pm20\log\sqrt{1+(\omega T)^2}\\ \angle G(j\omega)&=\pm\arctan(\omega T) \end{aligned} \right.\\ \]

• 漸近線

  可以通過\(\omega T\)與\(1\)的大小關系作伯德圖的漸近線，以\(\frac{1}{1+j\omega T}\)為例（下邊的討論也是一樣，畢竟一階慣性環節見得多）：

  \[-20\log\sqrt{1+(\omega T)^2}\mathrm{dB}\approx \mathrm{Asym(\left|G(j\omega\right|)}= \left\{ \begin{aligned} &0\ & for\ \omega T\ll 1\\ &-20\log\omega T\ & for\ \omega T\gg1 \end{aligned} \right. \]

  \(\mathrm{Asym}\)指漸近線asymptote。

  

  橫軸是\(\omega T\)。

  • 漸近線的誤差

    漸近線與完整的幅值響應之間的誤差由上圖很明顯在中間（\(\omega=1\)）時最大，在兩頭則很小，可以具體計算一下：

    \[\begin{aligned} \mathrm{Err}(\omega)&=20 \log |G(j \omega)|-\operatorname{Asym}(|G(j \omega)|) \\ &= \begin{cases}-20 \log \sqrt{1+(\omega T)^{2}} & 0<\omega T<1, \\ -20 \log \sqrt{1+(\omega T)^{-2}} & \frac{1}{T} \leq \omega T<\infty .\end{cases} \end{aligned} \]

    誤差最大出現在\(\omega T=1\)處，此時\(\mathrm{Err}(\omega)\approx -3.01\)，所以\(-3dB\)是一個在手繪伯德圖中經常會見到的數。

    后邊還會遇到一個\(3\mathrm{dB}\)，不過出發點不一樣。

• 相位

  雖然取了對數，但是相位仍然是關於\((1,\frac{\pi}{4})\)對稱的，原因主要在於\(\arctan(\omega T)+\arctan{\frac{1}{\omega T}}=-\frac{\pi}{2}\)

  需要熟悉幾個點：

  \[\angle\frac{1}{1+j\omega T} \left\{ \begin{aligned} &\approx 0\ &\omega T\ll 1\\ &= -\frac{\pi}{4}\ &\omega T=1\\ &\approx -\frac{\pi}{2}\ &\omega T\gg 1\\ \end{aligned} \right. \]

二階微分/振盪環節

• 表達式

  \[G(j\omega)=[(\frac{s}{\omega_n})^2+2\zeta\frac{s}{\omega_n}+1]^{\pm1}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} 20\log\left|G(j\omega)\right|&=\pm20\log\sqrt{\left[1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2\right]^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{\omega_n}\right)^2}\\ \angle G(j\omega)&=\pm\arctan{\frac{2\zeta\frac{\omega}{\omega_n}}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2}} \end{aligned} \right. \]

• 漸近線

  \[\mathrm{Asym}(|G(j\omega)|)= \left\{ \begin{aligned} &0\ &\frac{\omega}{\omega_n}<1\\ &-40\log{\frac{\omega}{\omega_n}}\ &\frac{\omega}{\omega_n}\ge1 \end{aligned} \right. \]
  • 注意到\((1+s/\omega_n)^{\pm2}\)的伯德圖的漸近線、相角的特殊點與二階微分/振盪環節的完全相同，這說明一個標准二階系統\(\frac{1}{(\frac{s}{\omega_n})^2+2\zeta\frac{s}{\omega_n}+1}\)可以用\(\frac{1}{(1+s/\omega_n)^2}\)近似。
  • 一階環節漸近線誤差只與\(\omega T\)有關，而二階環節漸近線的誤差不僅和\(\omega/\omega_n\)有關，還受\(\zeta\)控制，具體可以看下邊的圖。

• 相位

  這里相位響應仍然關於某點對稱，雖然不是很直觀，但推導思路很簡單，就是取對稱點帶進去算，就不記筆記啦。

  需要熟悉幾個點：

  \[\angle\frac{1}{(\frac{s}{\omega_n})^2+2\zeta\frac{s}{\omega_n}+1} \left\{ \begin{aligned} &\approx 0\ &\omega\ll\omega_n\\ &= -\frac{\pi}{2}\ &\omega=\omega_n\\ &\approx -\pi\ &\omega\gg\omega_n\\ \end{aligned} \right. \]

• 共振

  關於不同\(\zeta\)的伯德圖如下：

  

  此處的橫坐標是\(\omega/\omega_n\)。

  當\(\zeta\)處於一定范圍時，振幅響應會先增加后減小，其中能使幅值取到極大值的頻率就稱為共振頻率，記為\(\omega_r\)（r指共振resonance），通過對振幅響應求導數等於0可以得到

  \[\omega_r=\sqrt{1-2\zeta^2}\omega\\ |G(j\omega_r)|=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \]

  由此還可以知道只有當\(\zeta<\frac{\sqrt2}{2}\)時才會有共振現象。

6.5.3 0、1、2型系統的伯德圖

不同型次系統的伯德圖的不同之處僅存在於開始時的一段，設型次為\(l\)，則開始時的漸近線為

\[\mathrm{Asym}\left[G(j\omega)\right]=20\log\frac{K_o}{\omega^l} \]

• 如果延長開始時的漸近線與橫軸交於\(\omega_c\)，則可以在伯德圖上得到\(K_o=\omega_c^l\)
• 0型系統的伯德圖：開始時是水平的
• 1型系統的伯德圖：開始時是-20dB/10倍頻
• 2型系統的伯德圖：開始時是-40dB/10倍頻

往后則都是來一個極點則-20dB/10倍頻，來一個零點則+20dB/10倍頻。

有了這些特征，如果又能確定所有的轉折頻率，則閉環傳遞函數可以通過伯德圖直接確定下來。

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繪制伯德圖的一般步驟

1. 將傳遞函數寫成典型環節之積
2. 找出各環節的轉角頻率
3. 畫出各環節的漸近線
4. 如果需要在轉角頻率處修正漸近線得各環節曲線
5. 將各環節曲線相加

6.6.4 最小相位系統和非最小相位系統

前邊提到過最小相位系統就是極點全部在閉左半平面中的系統，這是一種表述，但是沒能解釋它為啥叫這名兒。這里可以介紹另一種表述：最小相位系統相比具有相同幅值的其它系統，其相角的變化范圍最小。

6.5.5 從伯德圖確定幅值裕度和相位裕度

舉個例子就會啦：

• 從相頻特性中找相位交越頻率，對應到幅頻特性中確定幅值裕度。
  • 向下為正，上圖中的幅值裕度即為正。
• 從幅值特性中找幅值交越頻率，對應到相頻特性中確定相位裕度。
  • 向上為正，上圖中的相位裕度即為正。

6.5.6 伯德圖和奈奎斯特曲線的關系

對應關系：

• 奈奎斯特曲線上單位圓對應於\(G_o(s)\)（注意不是\(G(s)\)）伯德圖上的零分貝線。
• 奈奎斯特曲線上的負實軸對應於\(G_o(s)\)伯德圖的\(-180^\circ\)相位線

故在伯德圖上可以獲得奈奎斯特曲線的\(N\)，進而判斷系統是否穩定。

• 注意相頻曲線的穿越要發生在幅頻曲線在橫軸之上時，也即對應到奈奎斯特曲線\((-1,j0)\)點的左側。

6.6 閉環頻率響應

6.4、6.5兩小節大部分時候（除了對比伯德圖和奈奎斯特圖的部分）討論的都是不帶反饋的系統，現討論的才是帶反饋系統的頻率響應。

6.6.1 單位反饋系統的閉環頻率響應

作出奈奎斯特圖如下，則閉環傳遞函數的分子\(G_o(j\omega)\)和分母\(G_o(j\omega)+1\)都在其中，分別是\(\tilde{OA}\)和\(\tilde{PA}\)：

• 將\(\tilde{OA}\)和\(\tilde{PA}\)的幅值相比即可得到閉環幅值響應
• 將\(\tilde{OA}\)和\(\tilde{PA}\)的相位相減即可得到閉環相位響應

6.6.2 頻率響應和暫態階躍響應的關系

對大多數開環傳函都有低通的特性，也即是

\[\begin{aligned} &\lim_{\omega \rightarrow 0}|G(j \omega)| \rightarrow \infty \\ &\lim_{\omega \rightarrow \infty}|G(j \omega)| \rightarrow 0 \end{aligned} \]

於是對於閉環傳函就有

\[\lim _{\omega \rightarrow 0} \frac{|G(j \omega)|}{|1+G(j \omega)|}=1, \quad \lim _{\omega \rightarrow \infty} \frac{|G(j \omega)|}{|1+G(j \omega)|}=0 \]

所以一般會有一個頻率能夠使得閉環幅值增益為\(1/\sqrt 2\)。當增益小於\(\frac{1}{\sqrt 2}\)時，我們認為增益太小，對輸出影響太小，就說到此處截止了，對應的頻率即是截止頻率\(\omega_b\)。化到分貝數是

\[20\log\frac{1}{\sqrt 2}\approx-3\mathrm{dB} \]

• 在從0到截止頻率的這一段頻帶上，各次諧波增益都較大，可以認為屬於這些頻率的輸入是通過系統得到輸出了的，這一段頻帶的長度就稱為帶寬。
  • 帶寬越寬，對高頻輸入的增益就越大，系統響應也就越快（對應上升時間越短），但同時噪音也會增加，這兩者有時需要做取舍。
• 截止頻率處幅頻特性曲線地斜率稱為衰減斜率。
  • 這個斜率越大，之前所說的“截至”的概念就越准確。但是往往需要做出取舍，因為對於二階系統來說，越大的衰減斜率就意味着諧振時的增益也越大，對穩定性有損害。

6.6.3 等幅值軌跡和等相位軌跡

本節關心\(G_o(j\omega)\)平面上哪些點能使閉環傳函的幅值或相位為某一定值。為了分析討論，現把\(G_o(j\omega)\)拆成虛實兩部分：\(G_o(j\omega)=x+jy\)。

本節沒有深入了解，需要時再回來咯

等幅值軌跡（M圓）

\[\begin{aligned} \left|\frac{G_o(j \omega)}{1+G_o(j \omega)}\right|=M & \Longleftrightarrow\left|\frac{x+j y}{1+x+j y}\right|=M \\ & \Longleftrightarrow \frac{x^{2}+y^{2}}{(1+x)^{2}+y^{2}}=M^{2}\\ & \Longleftrightarrow \left(x+\frac{M^2}{M^2-1}\right)^2+y^2=\left(\frac{M^2}{1-M^2}\right)^2 \end{aligned} \]

是個圓心在實軸上的圓！

等幅位軌跡（N圓）

看看在\(\angle G_o(j\omega)=N=Const\)時軌跡如何：

由圖知\(\alpha_1-\alpha_2=\alpha\)，即

\[\begin{aligned} \arctan\frac{y}{x}-\arctan\frac{y}{1+x}&=\angle\frac{x+jy}{1+x+jy}\\ \tan{\left(\arctan\frac{y}{x}-\arctan\frac{y}{1+x}\right)}&=\tan{\left(\angle\frac{x+jy}{1+x+jy}\right)}\\ \frac{\frac{y}{x}-\frac{y}{1+x}}{1+\frac{y^2}{x(1+x)}}&=\frac{y}{x^2+x+y^2}\\ \Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2N}\right)^2&=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2N}\right)^2 \end{aligned} \]

還是個圓（其實是個弧，下半平面沒有）！