自控理論 第03章 II 穩定性與穩態誤差

3.3 系統的穩定性及其判據

3.3.1 在復平面上分析穩定性

由上一節的討論發現，極點在OLHP中時，系統才會在足夠長的時間后穩定在某一個值上。於是定義了穩定性：如果系統的傳遞函數\(G(s)\)的所有極點都在OLHP，那么說這個系統是穩定的。

• 系統是否穩定只與系統本身有關，而與輸入無關。
• 在接下來的課程中還會遇到具有更加復雜含義的穩定性定義。

由之前的討論，系統穩定要求極點都落在OLHP中，所以本章討論的重點就是什么條件下一元高次方程的根的實部全部為負。因為4次以上的一元高次方程的解沒有解析公式，所以本節的目的就在於找到一些間接的判斷方法。

3.3.2 低階系統的簡單穩定性判斷

• 方法一

  對於一、二階系統，系統穩定的充要條件是分母多項式（即特征多項式）的所有系數均同號。

  對於更高階的系統，系統穩定的必要條件是特征多項式的所有系數均同號（反證法，拆分成\(\prod(s-p_i)\)的形式）。

• 方法二

  \(n\)階系統穩定的充要條件是：\(\omega\)從零增大到無窮大的過程中，\(\Delta\arg D(j\omega)=\frac{n\pi}{2}\)

• 方法三

  \(n\)階系統穩定的充要條件：\(\omega\)從零增大到無窮大的過程中，\(D(j\omega)\)在復平面上的軌跡逆時針繞過原點\(n\)個四分之一圈。

• 方法四（Hermite-Bieler定理）

  將特征多項式\(D(j\omega)\)做如下拆分

  \[\begin{aligned} &D(j \omega)=h\left(\omega^{2}\right)+j \omega g\left(\omega^{2}\right)\\ &h(\lambda)=a_{0}-a_{2} \lambda+a_{4} \lambda^{2}-a_{6} \lambda^{3}+\cdots \\ &g(\lambda)=a_{1}-a_{3} \lambda+a_{5} \lambda^{2}-a_{7} \lambda^{3}+\cdots \end{aligned}\quad \text{with }\lambda=\omega^2 \]

  則\(n\)階系統穩定的充要條件是：

  • \(a_i\)同號

  • 隨着\(\omega\)從零增大到為無窮大，\(h(\lambda)\)和\(g(\lambda)\)輪流有解，即設它們的根分別為\(\lambda_{h,i}\)和\(\lambda_{g,i}\)，則

    \[0<\lambda_{h,1}<\lambda_{g,1}<\lambda_{h,2}<\lambda_{g,2}<\lambda_{h,3}<\lambda_{g,3}<\cdots \]

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  • 對於三階系統特征多項式\(a_3(j\omega)^3+a_2(j\omega)^2+a_1j\omega+a_0\)，由該法可以推知穩定的充要條件是

    \[\left\{ \begin{aligned} &a_1 a_2 − a_0 a_3 > 0\\ &a_i同號 \end{aligned} \right. \]

  • 不難發現，方法二到四基本說的是同一件事。方法四仍然需要求解\(h(\lambda)\)和\(g(\lambda)\)的根才能進行判斷，所以其判斷的范圍最多只能到9階系統。

3.3.3 勞斯判據

定理內容

• 勞斯矩陣的求法

  暫時略過，課上只講了操作（本節的其他許多內容也是），沒講為什么，記成筆記沒啥意義。。。考完試有時間再補上啦。

  注意勞斯矩陣是根據閉環傳遞函數的分母寫的。

• 勞斯判據的敘述

  勞斯矩陣中第一列各項的負號變化次數，等於特征方程的實部大於0的根的個數。

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  注意是“大於”。如果出現了實部為0的根

  • 在原點有根，則會沒有常數項，易於判斷。
  • 有關於原點對稱的根，則勞斯矩陣中會出現全零行。

特殊情況處理

• 勞斯矩陣的第一列出現了0

  • 法一：求其互補多項式的勞斯矩陣，再判斷其穩定性。

    • 原理：互補多項式定義為
      \[D_{\mathrm{rec}}(s) \triangleq s^{n} D\left(\frac{1}{s}\right)=a_{0} s^{n}+a_{1} s^{n-1}+\cdots+a_{n-1} s+a_{n} \]
      因為\(\frac{1}{s}\)和\(s\)具有相同的實部，故兩者的穩定性判斷結論應該一樣。

  • 法二：求原多項式乘上一項新的\((s+p_i)\)后的勞斯矩陣，選取合適的\(p_i\)使得第一列中不再有0。因為\((s+p_i)\)的極點位置已知，所以將新的結果減去\((s+p_i)\)在右半平面的極點個數即可得到原多項式在右半平面的極點個數。

• 有全0行：意味着有純虛根

  將全零行的上一行對應的多項式寫出，然后對其求導，用所得結果的系數替換掉全零行，然后繼續進行勞斯矩陣的列寫。根據勞斯矩陣第一列負號的變化次數仍然可以判斷在開右半平面內的極點的個數。

3.3.3 赫爾維茨穩定性判據

再次略，課上只簡單地講了講結論。

3.3.4 確定系統參數的穩定范圍

本節的基本思路就只是把系統參數當作未知數算出勞斯矩陣，然后在假設系統穩定的情況下求解這些參數的取值范圍。

要注意的從這一節開始，討論的對象都是開環傳遞函數\(G_o(s)\)，而本章此前討論的都是閉環傳遞函數。

3.4 穩態響應分析

3.4.1 定義

• 穩態誤差：\(e_{ss}\triangleq\lim\limits_{t\to\infty}[r(t)-y(t)]=\lim\limits_{t\to\infty}e(t)\)

• 系統型次

  \[G_o(s)=\frac{K_o(\tau_1s+1)(\tau_2s+1)\cdots(\tau_ms+1)}{s^l(T_1s+1)(T_2s+1)\cdots(T_ps+1)},\ l+p=n \]

  在這樣的表示方式下，\(l\)就定義為系統的型次。本節主要介紹隨着型次的提升，系統的穩態誤差會減小。應該注意的是，型次越高系統的穩定性也會越差，需要在二者之間取舍。

3.4.2 單位反饋系統的穩態誤差

通過終值定理求穩態誤差

對於單位反饋系統有

\[\tilde e(s)=\tilde r(s)-G\tilde e(s)\Leftrightarrow\tilde e(s)=\frac{\tilde r(s)}{1+G_o(s)} \]

在拉普拉斯變換定義式中使用分部積分，有

\[\begin{aligned} \tilde e(s)&=\int_0^\infty e(t)e^{-st}{\mathrm d}t\\ &=\int_0^\infty e(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(-\frac{1}{s}e^{-st}){\mathrm d}t\\ &=-\left.e(t)\frac{1}{s}e^{-st}\right|_0^\infty+\frac{1}{s}\int_0^\infty e'(t)e^{-st}{\mathrm d}t\\ &=\frac{1}{s}e(0)+\frac{1}{s}\int_0^\infty e'(t)e^{-st}{\mathrm d}t\\ \Rightarrow \lim\limits_{s\to0}s\tilde e(s)&=e(0)+\lim\limits_{t\to\infty}e(t)-e(0)=\lim\limits_{t\to\infty}e(t)\\ \lim\limits_{t\to\infty}e(t)&= \lim\limits_{s\to0}s\tilde e(s) \end{aligned} \]

故穩態誤差的一種求解方法為

\[e_{ss}=\lim\limits_{t\to\infty}e(t)=\lim\limits_{s\to0}\frac{s\tilde r(s)}{1+G_o(s)} \]

階躍\(u(t)\)、斜坡\(tu(t)\)、拋物線\(\frac{1}{2}t^2u(t)\)輸入下的穩態誤差

三個誤差還分別對應稱為穩態位置、速度、加速度誤差。

運用由終值定理求得的結論，易得0~2型次系統的這些穩態誤差

型次	穩態位置誤差	穩態速度誤差	穩態加速度誤差
0	\(\frac{1}{1+K_o}\)	\(\infty\)	\(\infty\)
1	0	\(\frac{1}{K_o}\)	\(\infty\)
2	0	0	\(\frac{1}{K_o}\)

可以發現隨着型次的增加，穩態誤差減小。

正弦輸入的穩態誤差

正弦輸入的穩態誤差可以通過在前饋通路（feed forward path）增加\(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\)環節而保證消除，因為

\[e_{ss} =\lim\limits_{s\to0}\frac{s\frac{\omega}{s^2+\omega^2}}{1+\frac{\omega}{s^2+\omega^2}G_o(s)}=\lim\limits_{s\to0}\frac{s\omega}{s^2+\omega^2+\omega G_o(s)}=0 \]

3.4.3 無穩態誤差時非單位反饋系統反饋回路增益的作用

無穩態誤差時，有關系

\[r(t)-K_hy(\infty)=0\\ \Rightarrow y(\infty)=\frac{r(\infty)}{K_h} \]

所以調節\(K_h\)，可以改變\(y(\infty)\)的大小。

3.4.4 含擾動系統的穩態誤差

因為目前為止討論的都是線性系統，所以可以設輸入\(r\)為0，單獨考慮擾動\(d\)的作用。運用拉普拉斯變換的終值定理也可以求出系統關於\(d\)的穩態誤差。