自控理論 第03章 I 暫態響應分析

3.1 內容概要

• PPT
  • 控制系統零、極點的概念
  • 控制系統的暫態響應
  • 線性時不變系統的概念
  • 勞斯-赫爾維茲穩定性判據
  • 穩態誤差
• 自己總結
  • 從高階系統可以拆分為疊加在一起的低階系統這一想法出發，本章首先研究的，是作為系統基本組成部分的一階系統和二階系統。
  • 雖然這個想法是好的，但在實際操作中做部分因式分解還是太麻煩（我感覺），所以接着又在不做拆分的條件下，討論了極點位置對高階系統的特性的影響。
  • 然而高階系統的極點沒有解析解，經常不容易全部找出來，所以接着又討論了幾個能在不求出全部極點的條件下，判斷系統是否穩定的方法。
  • 最后在系統穩定的條件下，討論了系統的穩態誤差。

3.2 暫態響應分析

暫態響應：課上沒有說明，自己找了找發現課上表達的意思和其他地方定義的意思不大一樣，不過簡單理解應該就是指：系統從時間零點到穩定之前這一段時間內的零狀態（為了便於比較不同系統而默認是零狀態）時域響應。

3.2.1 零點與極點

定義

對於傳遞函數\(G(s)\)

• 極點\(p_i\)滿足\(\lim\limits_{s\to p_i}|G(s)|=\infty\)
• 零點\(z_i\)滿足\(\lim\limits_{s\to z_i}|G(s)|=0\)

---

• 這樣的定義可以把無窮遠處的零點也考慮在內。

• 對於分子分母不可再約分的傳遞函數，由定義易知極點是分母的根，零點是分子的根。

• 對於實系數的傳遞函數來說，一個復數零點/極點的共軛復數一定還是其零點/極點。

  這個性質需要以下結論：系數為實數的一元n次方程的復數解總是共軛地成對出現。

  證明：設\(x_0\)為一元n次方程\(\sum\limits_{i=0}^na_ix^i=0,a\in\mathbb R\)的根，對等式兩邊取共軛有

  \[\sum\limits_{i=0}^na_ix_0^i=0\\ \sum\limits_{i=0}^n\overline{a_ix_0^i}=0\\ \sum\limits_{i=0}^na_i\overline x_0^i=0 \]

  即有\(x_0\)的共軛仍是該方程的根。

  • 通過部分因式分解可以將傳遞函數化為以下形式
    \[\begin{aligned} G(s)=& \frac{c_{1,1}}{\left(s-p_{1}\right)^{n_{1}}}+\frac{c_{1,2}}{\left(s-p_{1}\right)^{n_{1}-1}}+\cdots+\frac{c_{1, n_{1}}}{s-p_{1}} \\ &+\frac{c_{2,1}}{\left(s-p_{2}\right)^{n_{2}}}+\frac{c_{2,2}}{\left(s-p_{2}\right)^{n_{2}-1}}+\cdots+\frac{c_{2, n_{2}}}{s-p_{2}}+\cdots \\ &+\frac{c_{m, 1}}{\left(s-p_{m}\right)^{n_{m}}}+\frac{c_{m, 2}}{\left(s-p_{m}\right)^{n_{m}-1}}+\cdots+\frac{c_{m, n_{m}}}{s-p_{m}}+b_{n} \end{aligned} \]
    部分因式的系數由留數定理確定：\(c_{i,j}=\frac{1}{(j-1)!}\lim_\limits{s\to p_i}\frac{\mathrm{d}^{j-1}}{\mathrm{d}s^{j-1}}(s-p_i)^jG(s)\)。故共軛零點/極點的系數也是共軛的。

構成控制系統的基本元素——一階系統和二階系統

上述系統拆分成的部分因式可以根據極點是哪一種根而分為三類：非重根的實根、非重根的復數根和重根。

• 非重根的實根對應的部分因式表示了一個一階系統
• 非重根的復數根對應的兩個共軛的部分因式之和表示了一個二階系統
• 重根對應的部分因式可以看作是前邊二者在復頻域的導數。

對於后兩種情況，具體算一下來說明：用\(p_i=\sigma_i+j\omega_i\)和\(p_{i+1}=\overline p_i\)表示一對共軛極點，合並二者的部分因式得到：

\[\frac{c_{i,j}}{(s-p_i)^{n_i-j+1}}+\frac{\overline c_{i,j}}{(s-\overline p_i)^{n_i-j+1}} =\frac{c_{i,j}(s-\overline p_i)^{n_i-j+1}+\overline c_{i,j}(s-p_i)^{n_i-j+1}}{[(s-\sigma_i)^2+\omega_i^2]^{n_i-j+1}} \]

• 如果\(p_i\)、\(p_{i+1}\)是非重根的復數根，即\(j=n_i\)的情況，有

  \[\left. [\frac{c_{i,j}}{(s-p_i)^{n_i-j+1}}+\frac{\overline c_{i,j}}{(s-\overline p_i)^{n_i-j+1}}] \right|_{j=n_i} =\frac{s(c_{i,n_i}+\overline c_{i,n_i})-(c_{i,n_i}\overline p_i+\overline c_{i,n_i}p_i)}{(s-\sigma_i)^2+\omega_i^2} \]

  這表示了一個二階系統。

  系統的階次：傳遞函數分母的最高次。

• 如果\(p_i\)、\(p_{i+1}\)是重根的復數根，即\(j<n_i\)的情況，有

  \[\begin{aligned} &\frac{c_{i,j}}{(s-p_i)^{n_i-j+1}}+\frac{\overline c_{i,j}}{(s-\overline p_i)^{n_i-j+1}}\\ =&-\frac{1}{n_i-j}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}[\frac{c_{i,j}}{(s-p_i)^{n_i-j}}+\frac{\overline c_{i,j}}{(s-\overline p_i)^{n_i-j}}] \end{aligned} \]

  對方括號中的內容重復以上操作，可以使\((s-p_i)\)的次數逐漸降低至1，所以其表示的系統的傳遞函數，是一個二階系統的傳遞函數在復頻域的\(n_i-j\)階導數。

由拉普拉斯變換的性質又有

\[\mathcal L[tf(t)]=-\frac{\mathrm d}{\mathrm d s}\tilde f(s) \]

所以如果了解了一階系統\(\frac{1}{s-p_i}\)和二階系統\(\frac{\alpha_i s+\beta_i}{(s-\sigma_i)^2+\omega_i^2}\)的時域響應，就可以方便地得到任意部分因式所表示的系統的時域響應，進而通過線性疊加就可以得到任意系統的時域響應。因此，稱一階系統和二階系統是構成控制系統的基本元素

3.2.2 一階系統的暫態響應

單位負反饋形式的一階系統

標准一階系統的微分方程和傳遞函數如下

\[T\dot y(t)+y(t)=r(t)\\ \dot y(t)=\frac{1}{T}[r(t)-y(t)]\\ \Rightarrow \frac{\tilde y(s)}{\tilde r(s)}=\frac{1}{Ts+1} \]

• \(T\)稱為時間常數。

對應的系統框圖如下

單位沖激響應（Unit-Impulse Response）

\[\tilde y(s)=\frac{1}{Ts+1}\\ \Rightarrow y(t)=\frac{1}{T}e^{-\frac{t}{T}},\ t\ge0 \]

注意橫坐標的單位是\(T\)，下同。

單位階躍響應（Unit-Step Response）

輸入為階躍函數\(r(t)=u_{-1}(t)\)，有

\[\tilde y(s)=\frac{1}{Ts+1}\cdot \frac{1}{s}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1/T}\\ \Rightarrow y(t)=1-e^{-\frac{t}{T}},\ t\ge0 \]

• \(y(T)\approx0.632\)，\(y(4T)\approx0.9817\)

• \(\log|y(t)-y(\infty)|\)曲線可以用於辨識一階系統，因為只有一階系統在該曲線中是一條直線：

  \[\log|y(t)-y(\infty)|=-\frac{t}{T} \]

  

單位斜坡響應（Unit-Ramp Response）

\[\tilde y(s)=\frac{1}{Ts+1}\cdot \frac{1}{s^2}=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T}{s+1/T}\\ \Rightarrow y(t)=t-T+Te^{-\frac{t}{T}},\ t\ge0 \]

• 可以定義誤差信號
  \[e(t)=r(t)-y(t)=T(1-e^{-\frac{t}{T}}) \]

---

可以發現單位沖激響應是單位階躍響應的導數，單位階躍響應是單位斜坡響應的導數，這個規律可以推廣到其它LTI（Linear Time-Invariant）系統。

3.2.3 二階系統的暫態響應

標准二階系統

定義如下

\[\frac{\tilde{y}(s)}{\tilde{r}(s)}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \zeta \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}}=\frac{\frac{\omega_{n}^{2}}{s\left(s+2 \zeta \omega_{n}\right)}}{1+\frac{\omega_{n}^{2}}{s\left(s+2 \zeta \omega_{n}\right)}} \]

• 其中\(\omega_n\)稱為無阻尼固有頻率（undamped natural frequency），\(\zeta\)稱為阻尼比（damping ratio）。

• 對於非標准二階系統（分子上帶\(s\)的），響應可能很不一樣，可以化成多個標准系統或標准系統的導數的疊加來進行分析。

• 單位反饋形式的系統框圖如下

  

單位階躍響應

由單位階躍響應，有\(r(s)=\frac{1}{s}\)。

欠阻尼狀態

有\(0<\zeta<1\)。定義阻尼固有頻率（damped natural frequency）\(\omega_d\triangleq\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)，則傳遞函數可以改寫為

\[\frac{\tilde{y}(s)}{\tilde{r}(s)}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \zeta \omega_{n} s+\zeta^2\omega_n^2+\omega_{d}^{2}}=\frac{\omega_{n}^{2}}{(s+\zeta\omega_n)^{2}+\omega_{d}^{2}} \]

做部分因式分解

\[\tilde y(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{s[(s+\zeta\omega_n)^{2}+\omega_{d}^{2}]}=\frac{c_1}{s}+\frac{c_2}{s+\zeta\omega_n+j\omega_d}+\frac{\overline c_2}{s+\zeta\omega_n-j\omega_d} \]

由留數定理

\[\begin{aligned} c_{1} &=\lim _{s \rightarrow 0} s \cdot \tilde{y}(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{n}^{2}}=1 \\ c_{2} &=\lim _{s \rightarrow-\left(\zeta \omega_{n}+j \omega_{d}\right)}\left(s+\zeta \omega_{n}+j \omega_{d}\right) \tilde{y}(s)\\ &=\left.\frac{\omega_{n}^{2}}{s\left(s+\zeta \omega_{n}-j \omega_{d}\right)}\right|_{s=-\left(\zeta \omega_{n}+j \omega_{d}\right)} \\ &=\frac{\omega_{n}^{2}}{2 j \omega_{d}\left(\zeta \omega_{n}+j \omega_{d}\right)}\\ &=-\frac{\omega_n^2}{2\omega_d(\zeta^2\omega_n^2+\omega_d^2)}(\omega_d+j\zeta\omega_n) \end{aligned} \]

帶入化簡得（這一步具體算起來比較麻煩）

\[\begin{aligned} &\frac{c_2}{s+\zeta\omega_n+j\omega_d}+\frac{\overline c_2}{s+\zeta\omega_n-j\omega_d}\\ =&-\frac{s+2\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}\\ =&-\frac{s+\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}-\frac{\zeta\omega_n}{\omega_d}\frac{\omega_d}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2} \end{aligned} \]

於是可以進一步化簡復頻域響應

\[\tilde y(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}-\frac{\zeta\omega_n}{\omega_d}\frac{\omega_d}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2} \]

定義\(\cos\varphi\triangleq\zeta\)，則時域響應為

\[\begin{aligned} y(t)=&1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}[\sqrt{1-\zeta^2}\cos(\omega_dt)+\zeta\sin(\omega_dt)]\\ =&1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_dt+\varphi)\\ =&1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\sqrt{1-\zeta^2}\omega_nt+\varphi),\ t\ge 0\\ \end{aligned} \]

具體求解時域響應不是重點，主要是要熟悉\(\zeta\)對標准二階系統暫態響應、極點分布的影響，下同。

• 暫態響應的時域圖象

  • 注意橫坐標單位是\(\omega_n t\)，下同。
  • 波形是被限制在兩個指數衰減函數間的減幅振盪

• \(\zeta\)對欠阻尼狀態二階系統暫態響應的影響

  

• \(\omega_n\)、\(\omega_d\)、\(\zeta\)和極點在復平面上的關系

  

臨界阻尼狀態

有\(\zeta=1\)。

\[\tilde y(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}=\frac{1}{s}+\frac{-\omega_n}{(s+\omega_n)^2}+\frac{-1}{s+\omega_n}\\ \Rightarrow y(t)=1-\omega_nte^{-\omega_nt}-e^{-\omega_nt}=1-e^{-\omega_nt}(\omega_nt+1) \]

• 看着像一階系統的階躍相應，不過此處在零時刻輸出的增長速度為0

過阻尼狀態

有\(\zeta>1\)。直接求極點+留數定理算就完啦，結果表示比較復雜，可以用極點

\[\left\{ \begin{aligned} s_1&=-\zeta\omega_n-\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}\\ s_2&=-\zeta\omega_n+\omega_n\sqrt{\zeta^2-1} \end{aligned} \right. \]

表示成簡化一些的如下形式

\[\begin{aligned} y(t)=&1+\frac{1}{2\sqrt{\zeta^2-1}}(\frac{e^{-(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\omega_nt}}{\zeta+\sqrt{\zeta^2-1}}+\frac{e^{-(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\omega_nt}}{\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}})\\ =&1+\frac{\omega_n}{2\sqrt{\zeta^2-1}}(\frac{e^{s_1t}}{-s_1}+\frac{e^{s_2t}}{s_2})\\ \end{aligned} \]

• 當\(\zeta\)較大時，\(e^{s_1t}\)衰減相比\(e^{s_2t}\)將快得多，導致系統的暫態響應主要由\(e^{s_2t}\)影響，於是給像\(s_2\)這樣的極點取了個名字，叫主導極點（本章后面小節還有相關內容）。

\(\zeta\)對標准二階系統的影響

• 觀察上面三種情況的結果，當把\(\omega_nt\)視作一個整體變量后，系統的時域響應只與\(\zeta\)有關。這也即是說，如果兩個標准的二階系統的\(\zeta\)相同，通過調節座標軸的比例可以使它們的時域響應曲線看起來一模一樣。
• \(\zeta<1\)的欠阻尼系統相比其他二者能更快地靠近到目標值，但是存在振盪；\(\zeta=0\)的臨界阻尼系統是無震盪的標准二階系統中最快靠近目標值的。

二階系統的時域指標

因為階躍輸入易於產生，且在數學上有了階躍響應就可以推知任意輸入的響應，所以經常用階躍響應中的一些指標來描述系統的特性。本節即計算欠阻尼二階系統單位階躍響應中的一些常用指標。

• 延遲時間\(t_d\)（delay time）：第一次到達終值的一半的時刻。

• 上升時間\(t_r\)（rise time）：從終值的0%、5%、或10%上升到終值的90%、95%、或100%所需要的時間，對處於不同狀態的二階系統會取不同的范圍，此處取0%~100%。

  令\(y(t_r)=1\)，有

  \[\begin{aligned} 1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt_r}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_dt_r+\varphi)&=1\\ \sin(\omega_dt_r+\varphi)&=0\\ \Rightarrow \omega_nt_r=\frac{\pi-\arccos\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{\pi-\varphi}{\sin\varphi} \end{aligned} \]

  

• 峰值時間\(t_p\)（peak time）：到達超調的第一個頂峰的時刻，這個頂峰一般對應最大超調量。

  時域導數為0時達到峰值，有

  \[\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}[1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_dt+\varphi)]\right|_{t=t_p}=\frac{\omega_ne^{-\zeta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_dt_p)=0\\ \Rightarrow \omega_nt=\omega_nt_p=\frac{\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{\pi}{\sin\varphi} \]

  

• 最大超調量\(M_p\)（或者是\(\sigma\%\)）（maximum overshoot）：單位化的最大正向誤差。

  如果第一個峰值對應最大超調量，則有\(M_p=\frac{y(t_p)-y(\infty)}{y(\infty)}\)。帶入峰值時間計算可得

  \[M_p=[y(t_p)-1]\times100\%=e^{-\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\pi}\times100\%=e^{-\pi\cot\varphi}\times100\% \]

  

• 調節時間\(t_s\)（settling time）：該時刻之后，誤差只會在一定范圍（一般取2%~5%）內浮動。

  調節時間的實際變化如下圖。工程上為了便於比較不同的標准二階系統，使用以下經驗公式估算調節時間

  \[\omega_nt_s\approx\frac{4}{\zeta}\quad for\ 2\%\ criterion\\ \omega_nt_s\approx\frac{3}{\zeta}\quad for\ 5\%\ criterion \]

  

伺服系統的速度反饋

引入速度反饋可能改善系統性能（改變二階系統的\(\zeta\)），這一節介紹了一個例子。一個帶有速度反饋的伺服系統的簡化系統框圖如下

消去內環得到

求其傳遞函數如下

\[\frac{\tilde\theta(s)}{\tilde\theta_r(s)}=\frac{\frac{K}{(Js+B+KK_h)s}}{1+\frac{K}{(Js+B+KK_h)s}}=\frac{K/J}{s^2+(B+KK_h)/J\cdot s+K/J} \]

於是得到

\[\left\{ \begin{aligned} \zeta=&\frac{B+KK_h}{2\sqrt{KJ}}\\ \omega_n=&\sqrt{K/J} \end{aligned} \right. \]

於是，在引入速度反饋后，通過調節\(K_h\)可以在不影響\(\omega_n\)的條件下改變\(\zeta\)（引入速度反饋之前調節\(\zeta\)會同時影響\(\omega_n\)），進而使系統的性能達到需要理想狀態。不過需要注意的是，因為噪聲一般都是高頻的，引入速度反饋可能會放大噪聲。

3.2.4 高階系統的暫態響應

3.2.1節中說過控制系統可以拆為一階系統和二階系統來分析，現在用這個思路來具體分析一下高階系統的階躍響應。

極點全為實數根且無重根

有前邊的討論知道，該系統可以視作多個一階系統的疊加，部分因式分解得

\[G(s)=a_0+\sum\limits_{i=1}^n\frac{a_i}{s-p_i} \]

階躍響應為

\[\tilde y(s)=\frac{1}{s}G(s)=\frac{a_0}{s}+\frac{1}{s}\sum\limits_{i=1}^n\frac{a_i}{s-p_i}\\ \Leftrightarrow y(t)=a_0+t\sum\limits_{i=1}^na_ie^{p_it} \]

觀察時域響應，如果各極點都在左半平面（Open Left Half Plane, OLHP），則系統是穩定的；只要有一個極點到了虛軸或者右半平面（Closed Right Half Plane, CRHP），則系統就會增長到無窮大而無法穩定到1。現實中的無窮大達不到，且趨向無窮大的過程往往會損壞東西，這一般是我們不想看到的。

極點含復數根且無重根

用\(p_1,p_2,\cdots,p_{2r}\)表示復數根，則傳遞函數可以表示為

\[G(s)=\frac{K\left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right) \cdots\left(s-z_{m}\right)}{\prod_{k=1}^{r}\left(s^{2}+2 \zeta_{k} \omega_{k} s+\omega_{k}^{2}\right) \prod_{i=2 r+1}^{n}\left(s-p_{i}\right)} \]

通過留數定理求出各部分因式的系數，通過整理可以得到階躍響應為

\[\tilde y(s)=\frac{1}{s}G(s)=\frac{a_0}{s}+\sum\limits_{k=1}^r\frac{b_k(s+\zeta_k\omega_k)+c_k\sqrt{1-\zeta_k^2}\omega_k}{(s+\zeta\omega_k)^2+(\sqrt{1-\zeta^2}\omega_k)^2}+\sum\limits_{i=2r+1}^n\frac{a_i}{s-p_i}\\ \Leftrightarrow y(t)=a_0+\sum\limits_{k=1}^re^{-\zeta_k\omega_kt}[b_k\cos(\sqrt{1-\zeta^2}\omega_kt)+c_k\sin(\sqrt{1-\zeta^2}\omega_kt)]+\sum\limits_{i=2r+1}^ne^{p_it},\ t\ge 0 \]

這回系統可以看作是一階系統和二階系統的疊加。仍然有如果各極點都在OLHP，則系統穩定。

極點含重根

重根對應的部分因式可以看作是某個不含重根的部分因式在復頻域上的導數，進而借助以下拉普拉斯變換，也可以通過疊加一階系統和二階系統求出改部分因式的時域響應：

3.2.5 主導極點（Dominant Closed-loop Poles）

觀察3.2.4節求出的響應，可以發現影響收斂快慢的主要因素是指數上的系數以及指數項前的系數。

• 指數系數就是極點（的實部），極點越遠離虛軸，衰減得越快。
• 指數項前的系數可直接（\(a_k\)）或間接（\(b_k\)）地由留數定理求得。如果有一個零點非常靠近極點，則會使的留數定理計算中\((s-z_i)\)一項非常小，進而導致指數項前的系數小，衰減快。

所以靠近虛軸且附近沒有零點的極點對暫態響應的影響較顯著，這樣的極點便是稱為主導極點。在實踐中，可以通過省略非主導的極點來降低系統的階次。