自控元件 第1章 電磁鐵和電磁繼電器

1.1 概述

• 原理

  都是通過電磁場把電能轉換為機械能。

• 組成

  勵磁線圈、靜止鐵心、銜鐵（動鐵心）、返回彈簧等。

• 分類

  • 拍合式/吸入式/旋轉式
  • 直流/交流

• 不同

  電磁繼電器的工作原理與電磁鐵相同，只是結構上增加了觸頭(或觸點)系統，保證工作安全、可靠。

1.1.1 電磁鐵中的能量轉換

電能==>磁能==>機械能

計算前提假設

• 鐵心不飽和（\(\mu_{Fe}\)隨磁場變化很小，近似為常數）
• 忽略漏磁影響
• 銜鐵靜止，氣隙長度\(\delta\)保持不變。注意此時銜鐵是受外力拉住的，要不然就直接吸合了。
• 當\(\delta\)變化，即銜鐵移動時，鐵心磁化程度不變。
• 線圈電感不大，即使銜鐵發生了移動，電流也會很快穩定到\(I={U}/{R}\)。

上圖右側開關閉合后，電流增加，電阻發熱，鐵心和氣隙內儲存磁場能量，假設在\(t\)時刻電流達到了\(I\)，磁通達到了\(\phi_\delta\)，則\(\phi_\delta\)與\(I\)的關系可通過下圖得到

其中氣隙磁導線是指\(U_m=IN-U_\delta=IN-R_\delta\phi\)。因為鐵心不飽和的假設，可以認為鐵心的\(\mu\)為常數，進一步可認為局部磁化曲線在該范圍內為直線、鐵心磁阻為常數，則有

\[\begin{aligned} \int_0^{t}Ui{\rm d}t &=\int_0^{t}\frac{\mathrm d \varPhi}{\mathrm d t}i{\rm d}t+\int_0^{t}i^2R{\rm d}t\\ &=\int_0^{\varPhi_\delta}i{\rm d}\varPhi+\int_0^{t}i^2R{\rm d}t\\ &=\int_0^{\phi_\delta}Ni\mathrm d\phi+\int_0^{t}i^2R{\rm d}t\\ \end{aligned} \]

其中

\[\begin{aligned} \int_0^{\phi_\delta}Ni\mathrm d\phi &=\int_0^{\phi_\delta}U_m\mathrm d \phi+\int_0^{\phi_\delta}U_\delta\mathrm d \phi\\ &=\int_0^{\phi_\delta}R_m\phi\mathrm d \phi+\int_0^{\phi_\delta}R_\delta\phi\mathrm d \phi\\ &=\frac{1}{2}\phi_\delta U_m+\frac{1}{2}\phi_\delta U_\delta \end{aligned} \]

存儲的磁場能如果對應到上圖中，則是兩塊三角形的面積

1.1.2 電磁鐵的靜吸力

接上一小節，現假設銜鐵在電磁力的作用下吸合，氣隙長度從\(\delta_1\)縮短為\(\delta_2\)，因為假設電流不變，所以\(IN\)不變，電流輸入了磁場能\(IN(\phi_{\delta_2}-\phi_{\delta_1})\)，送進來的能量一部分存儲到磁場中，一部分轉化為了機械功\(\Delta W_m\)

\[\begin{aligned} \Delta W_m&=W_{c_1}+U_m(\phi_{\delta_2}-\phi_{\delta_1})-W_{c_2}\\ &=S_{OB_1\phi_{\delta_1}}+S_{AB_1b_1}+S_{\phi_{\delta_1}b_1b_2\phi_{\delta_1}}-S_{OB_2\phi_{\delta_2}}-S_{AB_2b_2}\\ &=S_{AB_1B_2}\\ &=S_{ADB_1}-S_{AB_1B_2}\\ &\approx S_{ADB_1}\quad 忽略二階小量S_{AB_1B_2}\\ &=\frac{1}{2}U_{\delta_1}^2(\tan \theta_{\angle OAB_2}-\tan \theta_{\angle OAB_1})\\ &=\frac{1}{2}U_{\delta_1}^2\Delta\tan \theta_{\angle OAB}\\ &=\frac{1}{2}U_{\delta_1}^2\Delta\frac{1}{R_{\delta}}\\ &=-\frac{U_{\delta_1}^2}{2R_{\delta}^2}\Delta R_{\delta}\\ &=-\frac{1}{2}\phi^2\Delta R_{\delta}\\ \end{aligned} \]

可以進一步求對應的機械力為（假設力以\(\delta\)減小的方向為正方向）

\[\begin{aligned} \Delta W&=F(-\Delta\delta)\\ \Rightarrow F&=-\frac{1}{2}\phi^2\frac{\Delta R_{\delta}}{\Delta{\delta}} \end{aligned} \]

取極限可得

\[F=-\frac{1}{2}U_{\delta_1}^2\frac{{\rm d}\lambda_{\delta}}{{\rm d}\delta} \]

• 應該是大物里邊的虛功原理
• \(\lambda_\delta={1}/{R_\delta}\)是氣隙的“磁導”

• 對於旋轉式電磁鐵，類似推導可得
  \[M=\frac{1}{2}\phi^2\frac{{\rm d}R_{\delta}}{{\rm d}\alpha}=-\frac{1}{2}U_{\delta_1}^2\frac{{\rm d}\lambda_\delta}{{\rm d}\alpha} \]

1.1.3 不同結構的電磁鐵的靜吸力特性

吸力特性指的是吸力關於氣隙長度或轉子轉角變化的規律。

在往后的幾章中還會見到很多這樣非常不直觀、自找麻煩的命名。

拍合式

氣隙較小，氣隙內磁場近似均勻分布。

• 計算

  \[R_\delta=\frac{\delta}{\mu_0A_{\delta}}\\ \Rightarrow F=\frac{1}{2}\phi^2\frac{{\rm d}R_{\delta}}{{\rm d}\delta}=\frac{\phi^2}{2\mu_0A_\delta} \]

  鐵心未飽和時磁阻遠小於氣隙磁阻，故又可認為

  \[\phi\approx\frac{F_m}{R_\delta}=\frac{IN\mu_0A_\delta}{\delta}\\ \Rightarrow F=\frac{\mu_0A_\delta(IN)^2}{2\delta^2} \]

  故吸力會隨氣隙增大而迅速減小，隨着電流的增加而增大。

• 適用場合：短行程，小吸力。

吸入式

吸入的過程中漏磁通改變，相比於拍合式電磁鐵會產生額外的吸力。

• 計算：沒有推導，不管啦。
• 適用場合：長行程，大吸力。

旋轉式

銜鐵不再平移，而是繞軸轉動，氣隙長度不變。下圖為轉過\(\alpha\)的情形

• 計算

  重合部分氣隙面積：\(A=(2\theta-\alpha)rd\)

  氣隙磁導：\(\lambda_\delta=2\frac{\mu_0A}{\delta}=\frac{2}{\delta_0}\mu_0r_(2\theta-\alpha)d\)

  轉矩

  \[M=-\frac{1}{2}U_{\delta}^2\frac{{\rm d}\lambda_\delta}{{\rm d}\alpha}=\frac{1}{\delta}\mu_0rdU_\delta^2\approx\frac{\mu_0rd(IN)^2}{\delta} \]

  故吸轉矩不隨轉角而變化，在滿足氣隙磁阻遠大於鐵心磁阻的條件下轉矩只與電流成正比。

• 適用場合：精密測量儀表。

1.1.4 交流電磁鐵的吸力

以拍合式為例

\[\begin{aligned} F&=\frac{\phi^2}{2\mu_0A_\delta}\\ &=\frac{\phi_m^2}{2\mu_0A_\delta}\sin^2(\omega t)\\ &=\frac{\phi_m^2}{4\mu_0A_\delta}[1-\cos(2\omega t)]\\ \Rightarrow \overline{F}&=\frac{\phi_m^2}{8\mu_0A_\delta} \end{aligned} \]

不難發現吸力會周期性地歸零，導致銜鐵震動。

• 為了減輕這個現象，一般會加一個短路銅環，原理貌似是加了個電感。
• 吸合后，磁阻減小，而磁通一定，則磁勢會減小，所以電流也會減小。

交/直流拍合式電磁鐵閉合過程對比

	直流拍合式電磁鐵	交流拍合式電磁鐵
氣隙長度\(\delta\)	\(\searrow\)	\(\searrow\)
氣隙磁阻\(R_\delta\)	\(\searrow\)	\(\searrow\)
線圈電流\(I\)	\(\rightarrow\)（因為假設線圈電感較小）	\(\searrow\)（幅值）
磁勢\(F_m\)	\(\rightarrow\)	\(\searrow\)（幅值）
磁通\(\phi\)	\(\nearrow\)	\(\rightarrow\)（幅值，且假設忽略電阻和漏磁通）
吸力\(F\)	\(\nearrow\)	\(\rightarrow\)（幅值）

兩者都是基於假設討論的：直流電磁鐵由\(I\)不變推得其它量的變化，交流電磁鐵由\(\phi\)不變推得其它量的變化。

1.1.5 特性參數

• 吸合
  • 吸合電壓\(U_{xh}\)/電流\(I_{xh}\)：能使銜鐵從初始位置運動到完全吸合位置的最小電壓/電流
  • 吸合時間：字面意思
  • 儲備系數：\(K_{zb}=\frac{額定電壓/電流}{吸合電壓/電流}>1\)
• 釋放
  • 釋放電壓\(U_{sf}\)/電流\(I_{sf}\)：能使銜鐵從完全吸合位置返回初始位置的最小電壓/電流。
  • 釋放時間：字面意思
  • 返回系數：\(K_{fh}=\frac{釋放電壓/電流}{吸合電壓/電流}<1\)

吐槽一下：我校本課程一大特色，符號的下標不是1、2、3，就是拼音首字母💢無奈還得記，考試它就這么給也不會說明。。。

1.2 電磁繼電器

• 結構：電磁鐵加觸點

• 工作特性：因為摩擦力、彈簧力等阻力的原因，輸出電流與輸入電流的關系像一個施密特觸發器

  

• 靜力與反力的配合：設計電路使得電流滿足

  • 吸合時，保證靜吸力大於反力
  • 釋放時，保證靜吸力小於反力

  出於某種奇妙的原因，彈簧受到的機械力與氣隙長度的關系（稱為“反力特性”）如下圖紅色折線所示，所謂配合就是控制電流讓吸力特性在反力特性之上或之下。了解一下就好，實際還得做實驗試吧。

  

• 常見的問題及解決方法

  • 觸點磨損

    使用導電性好、耐腐蝕、耐摩擦的貴金屬

  • 電火花

    增加滅火花電路

• 技術指標

  相比電磁鐵還多了一個觸點負荷：極點器觸點所承受的開路電壓和閉路電流。