自控元件 第1章 电磁铁和电磁继电器

1.1 概述

• 原理

  都是通过电磁场把电能转换为机械能。

• 组成

  励磁线圈、静止铁心、衔铁（动铁心）、返回弹簧等。

• 分类

  • 拍合式/吸入式/旋转式
  • 直流/交流

• 不同

  电磁继电器的工作原理与电磁铁相同，只是结构上增加了触头(或触点)系统，保证工作安全、可靠。

1.1.1 电磁铁中的能量转换

电能==>磁能==>机械能

计算前提假设

• 铁心不饱和（\(\mu_{Fe}\)随磁场变化很小，近似为常数）
• 忽略漏磁影响
• 衔铁静止，气隙长度\(\delta\)保持不变。注意此时衔铁是受外力拉住的，要不然就直接吸合了。
• 当\(\delta\)变化，即衔铁移动时，铁心磁化程度不变。
• 线圈电感不大，即使衔铁发生了移动，电流也会很快稳定到\(I={U}/{R}\)。

上图右侧开关闭合后，电流增加，电阻发热，铁心和气隙内储存磁场能量，假设在\(t\)时刻电流达到了\(I\)，磁通达到了\(\phi_\delta\)，则\(\phi_\delta\)与\(I\)的关系可通过下图得到

其中气隙磁导线是指\(U_m=IN-U_\delta=IN-R_\delta\phi\)。因为铁心不饱和的假设，可以认为铁心的\(\mu\)为常数，进一步可认为局部磁化曲线在该范围内为直线、铁心磁阻为常数，则有

\[\begin{aligned} \int_0^{t}Ui{\rm d}t &=\int_0^{t}\frac{\mathrm d \varPhi}{\mathrm d t}i{\rm d}t+\int_0^{t}i^2R{\rm d}t\\ &=\int_0^{\varPhi_\delta}i{\rm d}\varPhi+\int_0^{t}i^2R{\rm d}t\\ &=\int_0^{\phi_\delta}Ni\mathrm d\phi+\int_0^{t}i^2R{\rm d}t\\ \end{aligned} \]

其中

\[\begin{aligned} \int_0^{\phi_\delta}Ni\mathrm d\phi &=\int_0^{\phi_\delta}U_m\mathrm d \phi+\int_0^{\phi_\delta}U_\delta\mathrm d \phi\\ &=\int_0^{\phi_\delta}R_m\phi\mathrm d \phi+\int_0^{\phi_\delta}R_\delta\phi\mathrm d \phi\\ &=\frac{1}{2}\phi_\delta U_m+\frac{1}{2}\phi_\delta U_\delta \end{aligned} \]

存储的磁场能如果对应到上图中，则是两块三角形的面积

1.1.2 电磁铁的静吸力

接上一小节，现假设衔铁在电磁力的作用下吸合，气隙长度从\(\delta_1\)缩短为\(\delta_2\)，因为假设电流不变，所以\(IN\)不变，电流输入了磁场能\(IN(\phi_{\delta_2}-\phi_{\delta_1})\)，送进来的能量一部分存储到磁场中，一部分转化为了机械功\(\Delta W_m\)

\[\begin{aligned} \Delta W_m&=W_{c_1}+U_m(\phi_{\delta_2}-\phi_{\delta_1})-W_{c_2}\\ &=S_{OB_1\phi_{\delta_1}}+S_{AB_1b_1}+S_{\phi_{\delta_1}b_1b_2\phi_{\delta_1}}-S_{OB_2\phi_{\delta_2}}-S_{AB_2b_2}\\ &=S_{AB_1B_2}\\ &=S_{ADB_1}-S_{AB_1B_2}\\ &\approx S_{ADB_1}\quad 忽略二阶小量S_{AB_1B_2}\\ &=\frac{1}{2}U_{\delta_1}^2(\tan \theta_{\angle OAB_2}-\tan \theta_{\angle OAB_1})\\ &=\frac{1}{2}U_{\delta_1}^2\Delta\tan \theta_{\angle OAB}\\ &=\frac{1}{2}U_{\delta_1}^2\Delta\frac{1}{R_{\delta}}\\ &=-\frac{U_{\delta_1}^2}{2R_{\delta}^2}\Delta R_{\delta}\\ &=-\frac{1}{2}\phi^2\Delta R_{\delta}\\ \end{aligned} \]

可以进一步求对应的机械力为（假设力以\(\delta\)减小的方向为正方向）

\[\begin{aligned} \Delta W&=F(-\Delta\delta)\\ \Rightarrow F&=-\frac{1}{2}\phi^2\frac{\Delta R_{\delta}}{\Delta{\delta}} \end{aligned} \]

取极限可得

\[F=-\frac{1}{2}U_{\delta_1}^2\frac{{\rm d}\lambda_{\delta}}{{\rm d}\delta} \]

• 应该是大物里边的虚功原理
• \(\lambda_\delta={1}/{R_\delta}\)是气隙的“磁导”

• 对于旋转式电磁铁，类似推导可得
  \[M=\frac{1}{2}\phi^2\frac{{\rm d}R_{\delta}}{{\rm d}\alpha}=-\frac{1}{2}U_{\delta_1}^2\frac{{\rm d}\lambda_\delta}{{\rm d}\alpha} \]

1.1.3 不同结构的电磁铁的静吸力特性

吸力特性指的是吸力关于气隙长度或转子转角变化的规律。

在往后的几章中还会见到很多这样非常不直观、自找麻烦的命名。

拍合式

气隙较小，气隙内磁场近似均匀分布。

• 计算

  \[R_\delta=\frac{\delta}{\mu_0A_{\delta}}\\ \Rightarrow F=\frac{1}{2}\phi^2\frac{{\rm d}R_{\delta}}{{\rm d}\delta}=\frac{\phi^2}{2\mu_0A_\delta} \]

  铁心未饱和时磁阻远小于气隙磁阻，故又可认为

  \[\phi\approx\frac{F_m}{R_\delta}=\frac{IN\mu_0A_\delta}{\delta}\\ \Rightarrow F=\frac{\mu_0A_\delta(IN)^2}{2\delta^2} \]

  故吸力会随气隙增大而迅速减小，随着电流的增加而增大。

• 适用场合：短行程，小吸力。

吸入式

吸入的过程中漏磁通改变，相比于拍合式电磁铁会产生额外的吸力。

• 计算：没有推导，不管啦。
• 适用场合：长行程，大吸力。

旋转式

衔铁不再平移，而是绕轴转动，气隙长度不变。下图为转过\(\alpha\)的情形

• 计算

  重合部分气隙面积：\(A=(2\theta-\alpha)rd\)

  气隙磁导：\(\lambda_\delta=2\frac{\mu_0A}{\delta}=\frac{2}{\delta_0}\mu_0r_(2\theta-\alpha)d\)

  转矩

  \[M=-\frac{1}{2}U_{\delta}^2\frac{{\rm d}\lambda_\delta}{{\rm d}\alpha}=\frac{1}{\delta}\mu_0rdU_\delta^2\approx\frac{\mu_0rd(IN)^2}{\delta} \]

  故吸转矩不随转角而变化，在满足气隙磁阻远大于铁心磁阻的条件下转矩只与电流成正比。

• 适用场合：精密测量仪表。

1.1.4 交流电磁铁的吸力

以拍合式为例

\[\begin{aligned} F&=\frac{\phi^2}{2\mu_0A_\delta}\\ &=\frac{\phi_m^2}{2\mu_0A_\delta}\sin^2(\omega t)\\ &=\frac{\phi_m^2}{4\mu_0A_\delta}[1-\cos(2\omega t)]\\ \Rightarrow \overline{F}&=\frac{\phi_m^2}{8\mu_0A_\delta} \end{aligned} \]

不难发现吸力会周期性地归零，导致衔铁震动。

• 为了减轻这个现象，一般会加一个短路铜环，原理貌似是加了个电感。
• 吸合后，磁阻减小，而磁通一定，则磁势会减小，所以电流也会减小。

交/直流拍合式电磁铁闭合过程对比

	直流拍合式电磁铁	交流拍合式电磁铁
气隙长度\(\delta\)	\(\searrow\)	\(\searrow\)
气隙磁阻\(R_\delta\)	\(\searrow\)	\(\searrow\)
线圈电流\(I\)	\(\rightarrow\)（因为假设线圈电感较小）	\(\searrow\)（幅值）
磁势\(F_m\)	\(\rightarrow\)	\(\searrow\)（幅值）
磁通\(\phi\)	\(\nearrow\)	\(\rightarrow\)（幅值，且假设忽略电阻和漏磁通）
吸力\(F\)	\(\nearrow\)	\(\rightarrow\)（幅值）

两者都是基于假设讨论的：直流电磁铁由\(I\)不变推得其它量的变化，交流电磁铁由\(\phi\)不变推得其它量的变化。

1.1.5 特性参数

• 吸合
  • 吸合电压\(U_{xh}\)/电流\(I_{xh}\)：能使衔铁从初始位置运动到完全吸合位置的最小电压/电流
  • 吸合时间：字面意思
  • 储备系数：\(K_{zb}=\frac{额定电压/电流}{吸合电压/电流}>1\)
• 释放
  • 释放电压\(U_{sf}\)/电流\(I_{sf}\)：能使衔铁从完全吸合位置返回初始位置的最小电压/电流。
  • 释放时间：字面意思
  • 返回系数：\(K_{fh}=\frac{释放电压/电流}{吸合电压/电流}<1\)

吐槽一下：我校本课程一大特色，符号的下标不是1、2、3，就是拼音首字母💢无奈还得记，考试它就这么给也不会说明。。。

1.2 电磁继电器

• 结构：电磁铁加触点

• 工作特性：因为摩擦力、弹簧力等阻力的原因，输出电流与输入电流的关系像一个施密特触发器

  

• 静力与反力的配合：设计电路使得电流满足

  • 吸合时，保证静吸力大于反力
  • 释放时，保证静吸力小于反力

  出于某种奇妙的原因，弹簧受到的机械力与气隙长度的关系（称为“反力特性”）如下图红色折线所示，所谓配合就是控制电流让吸力特性在反力特性之上或之下。了解一下就好，实际还得做实验试吧。

  

• 常见的问题及解决方法

  • 触点磨损

    使用导电性好、耐腐蚀、耐摩擦的贵金属

  • 电火花

    增加灭火花电路

• 技术指标

  相比电磁铁还多了一个触点负荷：极点器触点所承受的开路电压和闭路电流。