自控理論 第6章 I 奈奎斯特判據

6.1 引入

• 頻率響應定義：正弦輸入下系統的穩態響應。

6.1.1 LTI系統的頻率響應

假設系統穩定（若不穩定可以串入超前補償器使系統穩定），根據定義，系統輸入為

\[x(t)=X\sin(\omega t)\Rightarrow\tilde x(s)=X\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \]

輸出為

\[\tilde y(s)=G(s)\tilde x(s)=\frac{X(as+b)}{s^2+\omega^2}+\{\text{只與G(s)極點有關的部分因式}\}\\ \]

因為\(G(s)\)穩定，所以后邊那些項會隨時間衰減至0，穩態響應為

\[\begin{aligned} Y_{ss}(s)&=\frac{X(as+b)}{s^2+\omega^2}\\ &=X(\frac{c}{s+j\omega}+\frac{\overline c}{s-j\omega}) \end{aligned} \]

其中\(c\)可以由留數定理確定

\[c=\lim\limits_{s\to-j\omega}(s+j\omega)\frac{\omega}{s^2+\omega^2}G(s)=\frac{j}{2}G(-j\omega)\\ \overline c=-\frac{j}{2}G(j\omega) \]

帶入穩態誤差化簡得

\[\begin{aligned} Y_{ss}(s)&=\frac{jX}{2}[\frac{G(-j\omega)}{s+j\omega}-\frac{G(j\omega)}{s-j\omega}]\\ &=\frac{jX}{2}\{\frac{s[G(-j\omega)-G(j\omega)]-j\omega[G(-j\omega)+G(j\omega)]}{s^2+\omega^2}\}\\ &=X\frac{\omega\mathrm{Re}[G(j\omega)]+s\mathrm{Im}[G(j\omega)]}{s^2+\omega^2}\\ &=X|G(j\omega)|\left[\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\cos\varphi_G(\omega)+\frac{s}{s^2+\omega^2}\sin\varphi_G(\omega)\right]\\ \end{aligned} \]

拉普拉斯逆變換得時域穩態響應

\[\begin{aligned} y_{ss}(t)&=X|G(j\omega)|\left[\sin{(\omega t)}\cos{[\varphi_G(\omega)]}+\cos{(\omega t)}\sin{\varphi_G(\omega)}\right]\\ &=X|G(j\omega)|\sin{[\omega t+\varphi_G(\omega)]} \end{aligned} \]

該式說明線性時不變系統對正弦輸入的響應是一個頻率相同、但幅值和相位變化了的正弦量。

6.1.2 頻率響應的圖形表示方法一覽

• Nyquist圖 / Polar Plot
• Bode圖 / Logarithmic Plot
  • 幅頻特性\(|G(j\omega)|\)
  • 相頻特性\(\angle G(j\omega)\)
• Nichols圖（略）

6.2 奈奎斯特穩定判據

6.2.1 輻角原理

\(s\)平面（一個點對應一個\(s\)的復平面）上不通過\(F(s)\)任何零、極點的封閉曲線\(C_S\)包圍\(s\)平面上\(F(s)\)的\(Z\)個零點和\(P\)個極點。當\(s\)以順時針方向沿封閉曲線\(C_S\)移動一周時，在\(F(s)\)平面（一個點對應一個\(F(s)\)的復平面）上映射的封閉曲線\(C_F\)將以順時針方向繞原點旋轉\(N\)圈。\(N\)，\(Z\)，\(P\)的關系為

\[N=Z－P \]

6.2.2 奈奎斯特穩定判據

表示閉環傳函\(\hat G(s)\)、閉環傳函的分母\(D(s)\)、和開環傳函\(G_o(s)\)如下

\[\left\{ \begin{aligned} G(s) &= \frac{N_1(s)}{D_1(s)}\\ H(s) &= \frac{N_2(s)}{D_2(s)} \end{aligned} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} \hat G(s) &=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{N_1(s)N_2(s)}{N_1(s)N_2(s)+D_1(s)D_2(s)}\\ G_o(s) &= G(s)H(s)=\frac{N_1(s)N_2(s)}{D_1(s)D_2(s)}\\ D(s)&=1+G_o(s)=\frac{N_1(s)N_2(s)+D_1(s)D_2(s)}{D_1(s)D_2(s)}\\ \end{aligned} \right.\\ \]

• \(D(s)\)的極點是\(G_o(s)\)的極點
• \(D(s)\)的零點是\(\hat G(s)\)的極點

又根據輻角原理，若在\(s\)平面選取一個包圍右半平面的閉合曲線，則對\(D(s)\)運用輻角原理可以得到

\[\begin{aligned} N&=D(s)右半零點數-D(s)右半極點數\\ &=\hat G(s)右半極點數-G_o(s)右半極點數\\ \Rightarrow \hat G(s)&右半極點數 = N+G_o(s)右半極點數 \end{aligned} \]

故當已知\(G_o(s)\)右半極點數和\(N\)時，便可得到\(\hat G(s)\)右半極點數，進而判斷穩定性。

進一步，因為\(D(s)=1+G_o(s)\)，可以很容易地使用\(G_o(s)\)代替以上表述中的\(D(s)\)來求取\(N\)，因為\(D(s)\)曲線繞原點轉過的圈數等於\(G_o(s)\)曲線繞\((-1,j0)\)點轉過的圈數。最后得到：

奈奎斯特穩定判據：若系統的開環傳遞函數在右半平面上有\(P\)個極點，且開環頻率特性曲線（\(s\)移動時對應\(G_o(s)\)在復平面上的軌跡）對\((-1, j0)\)點包圍的次數為\(N\)（\(N>0\)順時針，\(N<0\)逆時針），則閉環系統在右半平面的極點數為\(N + P\)。若\(N+P=0\)，則閉環系統穩定，否則不穩定。

6.2.3 0、1、2型系統中的奈奎斯特路徑

要計算\(\hat G(s)\)右半極點數，需要首先確定\(s\)的閉合曲線，然后還要確定\(s\)的閉合曲線所映射出的\(G_o(s)\)的軌跡及其繞過\((-1,j0)\)點的圈數\(N\)。本節要確定\(s\)的閉合曲線如何取才合適，這個閉合曲線又稱作“奈奎斯特路徑”。

0型系統

對應虛軸上沒有零、極點，虛軸上的任意一點均可在奈奎斯特路徑上。

大多數情況下

• 上圖中\(\mathrm{II}\)部分映射出的\(G_o(s)\)曲線會因為\(s\to\infty\)而縮成一個點，所以更多關注的是\(\mathrm{I}\)部分和第\(\mathrm{III}\)部分
• \(\mathrm{I}\)部分和\(\mathrm{III}\)部分又共軛，所以只需求出\(0\to\infty\)的\(\mathrm{I}\)部分所映射的\(G_o(s)\)曲線，就可以對稱地得到\(\mathrm{III}\)部分所映射的。

因此在接下來得討論中，更多地是在討論\(G_o(j\omega)\)而不是\(G_o(s)\)。

1型系統

此時原點處有\(G_o(s)\)的一重零點。幅角原理要求路徑上不能有零極點，故選取下圖所示的閉合曲線來滿足原理的要求：

現在討論上圖中新增的藍色路徑在\(G_o(s)\)平面上會映射出什么圖形，此時有：

\[G_o(s)=\frac{K\prod\limits_{i=1}^m(\tau_is+1)}{s\prod\limits_{j=1}^n(T_js+1)}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} \rho&=\lim\limits_{s\to0}|G_o(s)|=\infty\\ \theta_0&=\lim\limits_{\omega\to0^-}\angle G_o(j\omega)=-(-\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}\\ \theta_t&=\lim\limits_{\omega\to0^+}\angle G_o(j\omega)=-\frac{-\pi}{2} \end{aligned} \right. \]

又沿藍色的\(\mathrm{IV}\)部分，\(\angle G_o(s)\)減小，故對應軌跡為順時針方向旋轉、半徑為\(\infty\)的右半圓：

右半圓的是基於開環傳函寫成\(\frac{K\prod\limits_{i=1}^m(\tau_is+1)}{s\prod\limits_{j=1}^n(T_js+1)}\)的形式而得到的，對於一般的系統要么化為標准形式，要么用同樣的方法進行分析。下邊的2型系統也是同樣的道理。

2型系統

此時原點處有\(G_o(s)\)的二重零點。仍可選取1型系統的閉合曲線來滿足原理的要求。此時有

\[G_o(s)=\frac{K\prod\limits_{i=1}^m(\tau_is+1)}{s^2\prod\limits_{j=1}^n(T_js+1)}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} \rho&=\lim\limits_{s\to0}|G(s)|=\infty\\ \theta_0&=\lim\limits_{\omega\to0^-}\angle G_o(j\omega)=\pi\\ \theta_t&=\lim\limits_{\omega\to0^+}\angle G_o(j\omega)=-\pi \end{aligned} \right. \]

又沿藍色的\(\mathrm{IV}\)部分，\(\angle G_o(s)\)減小，故對應軌跡為順時針方向旋轉、半徑為\(\infty\)的整圓：

6.2.4 繪制奈奎斯特曲線並判斷穩定性

本節討論\(s\)的閉合曲線所映射出的\(G_o(j\omega)\)的完整軌跡該如何繪制，進而求得\(N\)並判斷系統的穩定性。\(G_o(s)\)的軌跡又稱“開環頻率特性曲線”。

1. 確定\(G_o(s)\)右極點數，根據上一節的內容確定奈奎斯特路徑

2. 把\(G_o(j\omega)\)分解

   • 實部\(P(j\omega)\)
   • 虛部\(Q(j\omega)\)
   • 幅值\(A(\omega)\)
   • 相角\(\varphi(\omega)\)

3. 求出幾個特征點

   • \(G_o(0)\)或者\(\lim\limits_{\omega\to0}G_o(j\omega)\)，\(\varphi(0)\)
   • \(\lim\limits_{\omega\to \infty}\varphi(j\omega)\)
   • \(\left.G_o(j\omega_1)\right|_{P(\omega_1)=0}\)
   • \(\left.G_o(j\omega_2)\right|_{Q(\omega_2)=0}\)

4. 連接特征點，定性作出\(\omega\)從\(0^+\)變化到\(\infty\)的曲線

   • 注意特征點附近的相角，雖然是定性作圖但也別差得太離譜

   • 確定該段開環頻率特性曲線的正穿越次數\(N'^+\)和負穿越次數\(N'^-\)

     

     若\(\omega\to0^-\)時曲線剛好落在-1左側的實軸上，這時要算0.5“次”穿越。

   • 計算\(N\)

     \[N=2(N'^--N'^+) \]

5. 判斷系統的穩定性

   • \(N=0\)，系統穩定
   • \(N>0\)，系統不穩定
   • \(N<0\)，算錯了再檢查檢查。。。

6.3 幾種特殊情況的奈奎斯特判據

不少其實是解題思路哈哈🤦‍♂️😂

6.3.1 條件穩定系統

對一些系統來說，只有一些系統參數處於一定范圍內時它們才是穩定的，通過奈奎斯特判據可以求出能使系統穩定的參數區間。做法也很簡單，就是先把參數作為代數畫出奈奎斯特曲線，用這些代數表示曲線與實軸的交點，通過調整這些交點處於\((-1,j0)\)點的左側或右側即可改變系統的穩定性。

6.3.2 多回路系統

首先應將內環系統視作一個獨立的系統，用奈奎斯特判據求取其在右半平面的極點數，然后將內環閉環在右半平面的極點數與其它環節的右半極點數相加，得到原開環系統的右半極點數\(P\)，最后再對整體用奈奎斯特判據得到整體的閉環右半極點數。舉個例子：

首先把紅框中的抽出來，用奈奎斯特判據得到其閉環右半極點數\(P_1\)，然后確定\(G_1\)、\(G_3\)、\(H_1\)、的右半極點數分別為\(P_1\)、\(P_3\)、\(P_4\)，則原開環系統的右半極點數為\(P=P_1+P_2+P_3+P_4\)，化簡框圖得到原系統的開環傳遞函數，使用奈奎斯特判據得到原系統的\(N\)，則原系統的右半極點數即為\(P+N\)。

6.3.3 需要極點處於特定區域內

這個需要蠻有意義的，比如要求超調量小，則會對\(\zeta\)有要求，即主導極點的相角應小於某個值；再比如要求響應迅速，則會對\(\omega_n\)有要求，也即極點的實部應小於某個值。就拿這兩點舉例，則此時下圖折線的右側不應有極點：

回憶奈奎斯特判據的推導過程，奈奎斯特曲線的左邊界是虛軸求出的是在右半平面的極點個數，相應的如果把左邊界換成上圖的折線即可求出處於折線右端的極點的個數。不過要注意此時求特征點就復雜一些了。

6.3.4 最小相位系統

右半平面無零點和極點的系統稱為最小相位系統，即有\(P=0\)，故要求\(N=0\)即可保證系統穩定。

• 純時延的最小相位系統

  純時延的最小相位系統又多了一項\(e^{-T_ds}\)，故其與負實軸的交點變為無窮多個，但因為前提是最小相位系統，保證所有交點都在\((-1,j0)\)右側即可保證系統穩定。

6.3.5 在虛軸除原點以外有開環零點、極點的系統

用無限小半圓路徑扣掉極點，對應的開環頻率特性曲線需要根據具體情況進行討論。

6.3.6 根據開環右零點數判斷開環右極點數

如果已知開環右零點數和奈奎斯特曲線，是可以直接得到開環右極點數的，舉個例子來說明：

這個圖：小藍色下半圓箭頭標反了；虛線當成實線看就好。

假設\(A\)是\((-1,j0)\)點，現在已知\(G_o(s)\)的有零點數為\(Z_0=1\)。奈奎斯特曲線是\(G_o(s)\)的曲線，由輻角原理（注意不是奈奎斯特判據）知道該曲線順時針（默認奈奎斯特軌跡是順時針包圍右半平面的）繞過原點的圈數\(N_0\)、\(G_o(s)\)的右極點數\(P_0\)、\(G_o(s)\)的右零點數\(Z\)滿足\(N_0=Z_0-P_0\)，由上圖知道\(N_0=-2\)，則\(P_0=Z_0-N_0=3\)。

6.3.7 包圍左半平面的奈奎斯特路徑

相應的用奈奎斯特判據求出的是閉環左極點數，如果閉環左極點數等於系統階次，那么仍然可以判斷系統穩定；反之如果閉環左極點數小於系統階次，那么說明系統在閉右半平面有極點，系統不穩定。