奈奎斯特穩定判據的推導與理解

• 先上結論，奈奎斯特穩定判據：
  • 若奈奎斯特曲線不穿過（-1 ， j0）點，Z = P - 2N = 0 時系統穩定若奈奎斯特曲線穿過（-1 ， j0）點，則系統臨界穩定
    • 其中，Z為包圍函數的零點數
    • P為開環傳遞函數的極點數
    • N為奈奎斯特曲線包圍（-1 ， j0）的圈數
• 看上去挺抽象的哈，當初我就死記着定理去考試了。要了解奈奎斯特穩定判據，得談到復變函數中的Cauchy定理，也就是輻角原理。輻角原理實際上就是畫圈圈，這里不詳述，請自己參照《復變函數》。
  • 根據輻角原理，當s在不穿過零極點的閉合軌跡上順時針運動一周時，F(s)的值在復平面上順時針運動Z-P周（和書上表述可能有異，但這樣很好理解）。
  • 其實就是s變量沿着閉合軌跡的變化對應於F(s)值在復平面上有着相應的變化。
  • 為什么強調順時針呢？且看我慢慢道來，蛤蛤！
• 閉環傳函極點實際上就等價於F(s)=1+G(s)H(s)的零點，那么穩定性判定就歸結為判定F(s)的零點在復平面的右半平面的分布情況。
  • F(s)在復平面上的運動軌跡可由G(s)H(s)的運動軌跡向右平移1個單位長度得到；
  • 研究F(s)的零點分布，先得找個合適的s變量運動軌跡，書上采用的是兩部分：
    
    • 右半平面半徑無窮大的半圓
    • 虛軸本身
    • 例外：如果原點處存在開環極點，則以半徑無窮小的圓弧避開，形成類似於扇形的閉合曲線。

• • 如果我們選取s變量的運動軌跡關於實軸對稱，由復數的運算性質可知，G(s)H(s)的運動軌跡關於實軸對稱，也即F(s)的運動軌跡關於實軸對稱。
  • 既然這樣，我們就只需要研究：虛軸上半部對應的s變量的運動軌跡與G(s)H(s)軌跡的變化關系就好，這也是教科書上為何有R = 2 * N 的原因，下半部分的數量直接乘以2即可。
  • 所以我們分析的就只是上圖紅色部分的s變量軌跡對應於G(s)H(s)的運動軌跡所繞（-1 ， 0j）的圈數咯。那么，根據奈奎斯特曲線和可能存在的補線就能得出s變量的上半平面部分的運動軌跡對應的G(s)H(s)的運動“軌跡”，其實還存在於實軸對稱的另一部分軌跡啦，對應於s運動軌跡的下半平面部分，也就是上圖的藍色部分。對應這個詞，其實就是映射啦。
    • 虛軸部分對應於jw，同時，使s變量運動方向為順時針，那么對應於w是從0到無窮變化的，所以虛軸紅色部分也就對應於G(s)H(s)的奈奎斯特曲線；
    • 而對應於紅色無窮大半徑圓環部分在開環傳函極點數大於等於零點數時，是收斂於0或者常數的
    • 倘若開環傳函存在為零的績點，那么在原點處就會存在半徑為無窮小的圓弧，如上圖所示，當然畫得不小，為了好看嘛。
      • 此圓弧對應於G(s)H(s)的運動軌跡是無窮大半徑的補線（當然了，未必是圓，只是為了方便想象）
  • 那么可以得出Z - P 的值，這里還要注意奈奎斯特曲線的方向哦，順時針或者逆時針，是影響到正負號的哦，我比較懶，就不具體指出了，留給讀者自己想咯。
  • 說到這里已經差不多啦，由奈奎斯特和可能存在的補線得到Z-P的值，就可以由P（開環傳函的極點數）的值得出(F(s)=1 + G(s)H(s)的零點數，也即閉環傳函的極點數）Z啦

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