摘要：該系列為DR_CAN Advanced控制理論視頻筆記，詳見https://space.bilibili.com/230105574
由於筆者水平有限，文中難免存在一些不足和錯誤之處，誠請各位批評指正。
1 一個反饋控制系統
將函數寫為分子分母的形式可得到以下結論：
以上結論很重要，因為這個結論通過 \(1+G(s)H(s)\) 將開環傳遞函數與閉環傳遞函數聯系在一起。
2 柯西幅角原理
函數存在一個零點：
函數存在一個極點：
函數存在一個零點和一個極點：
結論： \(S\) 平面內存在一條順時針曲線 \(A\)，\(B\) 曲線曲線 \(A\) 是通過函數 \(F(s)\) 的映射。\(A\) 曲線每包含一個 \(F(s)\) 的零點，\(B\) 曲線就繞原點順時針一圈。\(A\) 曲線每包含一個 \(F(s)\) 的極點，\(B\) 曲線就繞原點逆時針一圈。
一個例子，如果映射后的曲線繞原點逆時針兩圈，則原曲線所包含的極點數比零點數多2。
3 奈奎斯特穩定性判據
奈奎斯特曲線是包含整個 \(S\) 平面右半部分的曲線，我們另 \(F(s) = 1+G(s)H(s)\) ，有 \(P - Z = N\)， 其中 \(N\) 為 映射后 \(B\) 曲線繞原點的逆時針圈數：
根據 1 中推導出的零點極點關系，我們可以將 \(P - Z = N\) 寫成以下形式：
接下來，我們令 \(F(s) = G(s)H(s)\) ，也就是讓剛才的 \(F(s)-1\) ，由於函數是線性的，因此這使得映射后 \(B\) 曲線在 \(S\) 平面中向左移動了一個實數單位，而 \(P - Z = N\) 中的 \(N\) 從繞原點的逆時針圈數變成了繞 \((-1,0)\) 的逆時針圈數。而這個新的曲線就是奈奎斯特圖（Nyquist Plot）。
總結一下，如果系統穩定，則閉環傳遞函數在復平面右側無極點，及 \(Z=0\) ，因此繞 \((-1,0)\) 的逆時針圈數即為開環傳遞函數的極點個數，這就是奈奎斯特穩定性判據。
4 回到開頭的例子
經過計算我們發現開環傳遞函數的極點均位於復平面左側：
通過MATLAB可以畫出這個閉環系統的奈奎斯特圖：
我們發現曲線並沒有包含 \((-1,0)\) ，也就是說在 \(P - Z = N\) 中 \(N=0\)，又因為 \(P=0\) 因此 \(Z = 0\) ，也就是說系統的閉環傳遞函數在復平面右側沒有極點，因此系統是穩定的。
接下來我們增大控制器的增益 \(k\) ，由於映射是線性的，因此圖像結果是等比放大：
我們發現這時曲線包含 \((-1,0)\) 並且繞其順時針旋轉了兩圈，也就意味着 \(P - Z = N\) 中 \(N=\)，-2又因為 \(P=0\) 因此 \(Z = 2\) ，也就是說系統的閉環傳遞函數在復平面右側有兩個極點，因此系統是不穩定的。