該系列為DR_CAN自動控制原理視頻筆記，詳見https://space.bilibili.com/230105574
由於筆者水平有限，文中難免存在一些不足和錯誤之處，誠請各位批評指正。
1 一個簡單的例子
我們假設在一段高低起伏的曲線上的ABC三點分別放一個小球，我們可以發現在沒有外界擾動的情況下這三個小球均可以保持靜止。但當我們分別給三個小球一個擾動時，A點的小球就會滑落，B點小球則會不斷地振盪但始終保持在B點周圍，而C點小球由於曲面上的摩擦，最終會重新靜止。這種情況用數學語言來描述即圖片右側部分，
其中A點狀態稱為不穩定（Unstable），B點稱為臨界穩定（Marginally stable），而C點稱為穩定（Stable）。
如果我們對B小球的擾動不大，就可以讓它始終保持在B點周圍。即系統的輸入有界，進而系統的輸出也有界，這就是BIBO（Bounded-Input Bounded-Output）穩定。
2 分析傳遞函數
在研究系統穩定性時，一般以單位沖激函數 \(\delta(t)\) 作為輸入，就相當於剛才例子中的擾動，而單位沖激函數經過拉普拉斯變換后的值為1，這時系統的輸出就等於傳遞函數本身，這就是為什么常用傳遞函數本身來分析穩定性。其中 \(G(s)\) 為系統開環傳遞函數，\(G(s)_{cl}\) 為系統閉環傳遞函數，cl即close loop。
對於單位沖激函數 \(\delta(t)\) 可參考DR_CAN的一期視頻：https://www.bilibili.com/video/av26448770
一個傳遞函數可以抽象成以下形式，令分子等於0的點為系統的零點，而令分母等於0的點是系統的極點，通過分析系統極點的位置，我們就可以了解系統的穩定性。
3 另兩個簡單的例子
對於一個傳遞函數（或者說系統的輸出，因為在單位沖激下兩者相等），我們可以通過因式分解將其拆成基本形式的線性組合，然后對其進行拉普拉斯逆變換可以得到系統輸出的時域表達。在這個例子中系統的兩個極點分別是-3與2，在時域表達中便是指數函數中時間 \(t\) 前面的系數。
不難發現隨着時間 \(t\) 趨於正無窮，系統的輸出也趨於無窮，因此這是一個不穩定的系統。更具體一點，是2這個極點導致了系統的不穩定，因為 \(e^{-3t}\) 會在時間 \(t\) 趨於正無窮時趨於0，而 \(e^{2t}\) 則為正無窮。
另一個例子，系統的兩個基點是共軛復數，通過歐拉公式對於系統輸出的時域表達進行化簡，可以得到一個振盪的形式。注意到正弦函數系數為 \(e^{-t}\) ，即時間 \(t\) 前的系數為-1，因此系統輸出將隨着時間 \(t\) 趨於正無窮，振盪着收斂到0，因此這是一個穩定的系統。
在這種形式下，與上一個例子的規律相同，時間 \(t\) 前的系數分別為- + 0時，系統的輸出會形如以下圖像。注意到當系數為0時指數函數的值為1，系統便會保持穩定的震盪。
系統的極點畫在復平面上，有這么幾種情況：
穩定：
- 紅色極點實部＜0，系統會平滑收斂，
- 褐色極點共軛並且實部＜0，系統會振盪收斂
臨界穩定：
- 黃色極點共軛並且實部 = 0，系統會無休止的振盪
不穩定：
- 綠色極點共軛並且實部＞0，系統會振盪趨於無窮
- 藍色極點實部＞0，系統會平滑趨於無窮
4 總結
有了以上的結論，我們就可以理解經典控制的核心設計思路，即通過設計控制器D，將系統閉環傳遞函數的零點設計到虛軸左側，進而讓系統達到穩定，這個過程就叫做極點配置。另外的，在現代控制理論中，通過研究狀態矩陣的特征值進而分析系統穩定性，特征值便相當於系統的極點。
