MATLAB 根軌跡圖的穩定性分析
根軌跡分析
在下文中，我們提供了用於根軌跡分析的強大MATLAB命令的簡要描述。讀者可能想知道為什么當強大的MATLAB命令可用時，教師強調學習手工計算。對於給定的一組開環極點和零點，MATLAB立即繪制根軌跡。在極點和零點中進行的任何更改都會立即產生新的根位點，依此類推。
根據我們的背景和能力，我們可能會在一段時間后開始對模式有所了解。也許我們終於開始制定一套規則，使我們能夠在極點和零點出現的那一刻快速制作根軌跡的心理草圖。換句話說，通過反復試驗，我們找到了根軌跡的規則。
通過系統地制定根軌跡的一套規則，我們尋找對系統動態現象的最清晰，最簡單的解釋。根軌跡的規則使我們能夠清楚而准確地理解無限的特征方程組可以創建的無窮模式。我們最終可以在沒有這些規則的情況下學會設計，但我們的技能水平永遠不會那么高，或者我們的理解也不會那么好。對於其他分析技術也是如此，例如Bode圖，Nyquist圖，Nichols圖等，在本課程后面將介紹。
MATLAB允許特征方程的根軌跡
1 + G（s）H（s）= 0
用rlocus（GH）命令繪制 。可以使用[K，p] = rlocfind（GH）命令以交互方式選擇根軌跡上的點（將十字准線放置在適當的位置）。然后MATLAB 在該點產生增益K以及具有該增益的所有極點p。根軌跡可以在使用sgrid（zeta，wn）命令生成的網格上繪制，該命令允許恆定阻尼比zeta和恆定固有頻率 wn曲線。命令rlocus（GH，K）允許我們指定用於繪制根軌跡的增益K的范圍。還研究命令[p，K] = rlocus（GH） 和 [p] = rlocus（GH，K） 使用MATLAB在線幫助。
考慮圖M6.1的框圖中所示的系統。
圖M6.1
系統的特征方程是
1 + G（s）= 0
同
以下MATLAB腳本繪制了根軌跡
s = tf('s');
G = 1/(s*(s+7)*(s+11));
rlocus(G);
axis equal;
單擊根軌跡與虛軸的交點將得到圖M6.2中所示的數據。我們發現閉環系統對於K <1360 是穩定的; 並且K > 1360 不穩定。
圖M6.2
圖M6.3顯示了兩個K值的階躍響應。
>> K = 860;
>> step(feedback(K*G,1),5)
>> hold;
% Current plot held
>> K = 1460;
>> step(feedback(K*G,1),5)
圖M6.3
例M6.2
考慮圖M6.4所示的系統。
圖M6.4
植物轉移函數G（s）如下給出
以下MATLAB腳本繪制了閉環系統的根軌跡。
clear all;
close all;
s = tf('s');
G = (s+1)/(s*(0.1*s-1));
rlocus(G);
axis equal;
sgrid;
title('Root locus for (s+1)/s(0.1s-1)');
[K,p]=rlocfind(G)
圖M6.5
selected_point =
-2.2204 + 3.0099i
K =
1.4494
p =
-2.2468 + 3.0734i
-2.2468 - 3.0734i
例M6.3
用於具有開環傳遞功能的單位反饋系統
使用以下MATLAB代碼生成了圖M6.6中所示的根軌跡圖。
s = tf（'s'）;
G =（s ^ 2-4 * s + 20）/（（s + 2）*（s + 4））;
rlocus（G）;
zeta = 0.45;
wn = 0;
使用 右鍵單擊 - >屬性 - >限制正確地重新定義根軌跡的軸 。
圖M6.6
點擊根軌跡與zeta = 0.45線的交點給出系統增益K = 0.415，其對應於閉環極點，
點擊根軌跡與實軸的交點，給出分離點和該點處的增益。