奈奎斯特采樣定理：
定理：為了不失真地恢復模擬信號，離散信號系統的采樣頻率不小於模擬信號頻譜中最高頻率的2倍。
在時域上，頻帶為F的連續信號f(t)可用一系列離散的采樣值f(t1),f(t1+Δt),f(t1+2Δt)…來表示，只要這些采樣點的時間間隔Δt <= 1/2F，便可根據各采樣值完全恢復原始信號。
在頻域上，當時間信號函數f(t)的最高頻率分量為fmax時，f(t)的值可由一系列采樣間隔小於或等於1/2fmax的采樣值來確定，即采樣點的重復頻率為fs >= 2fmax。
采樣定理指出，只要離散系統的奈奎斯特頻率高於采樣信號的最高頻率或帶寬，就可以避免混疊現象。從理論上說，即使奈奎斯特頻率恰好大於信號帶寬，也足以通過信號的采樣重建原信號。但是，重建信號的過程需要以一個低通濾波器或者帶通濾波器將在奈奎斯特頻率之上的高頻分量全部濾除，同時還要保證原信號中頻率在奈奎斯特頻率以下的分量不發生畸變，而這是不可能實現的。在實際應用中，為了保證抗混疊濾波器的性能，接近奈奎斯特頻率的分量在采樣和信號重建的過程中可能會發生畸變。因此信號帶寬通常會略小於奈奎斯特頻率，具體的情況要看所使用的濾波器的性能。需要注意的是，奈奎斯特頻率必須嚴格大於信號包含的最高頻率。如果信號中包含的最高頻率恰好為奈奎斯特頻率，那么在這個頻率分量上的采樣會因為相位模糊而有無窮多種該頻率的正弦波對應於離散采樣，因此不足以重建為原來的連續時間信號。
壓縮感知：
壓縮感知：作為一個新的采樣理論，通過利用信號的稀疏特性，在遠小於Nyquist采樣率的條件下，用隨機采樣獲取信號的離散樣本，然后通過非線性重建算法完美重建信號。
提出背景：眾所周知，在奈奎斯特采樣定理為基礎的傳統數字信號處理框架下，若要從采樣得到的離散信號中無失真地恢復模擬信號，采樣速率必須至少是信號帶寬的兩倍。然而，隨着當前信息需求量的日益增加，信號帶寬越來越寬，在信息獲取中對采樣速率和處理速度等提出越來越高的要求。最近由D Donoho、E Candbs及華裔科學家T Tao等人提出的壓縮感知(Compressive Sensing，CS)理論指出了一條模擬信號"經濟地"轉化為數字形式的壓縮信號的有效途徑：利用變換空間描述信號，通過直接采樣得到少數有用的線性觀測數據（包含信號全局信息的壓縮數據），然后解一個優化問題就可以從觀測數據中恢復原始信號。
壓縮感知與奈奎斯特采樣定理：
從采樣的角度來看，壓縮感知和基於奈奎斯特采樣定理的傳統信號采集是兩種不同形式的信號采集方式。（壓縮感知打破了傳統信號處理中對於奈奎斯特采樣要求的限制）
采樣率：在壓縮感知理論下，信號的采樣率不再取決於信號的帶寬，而是取決於信息在信號中的結構與內容（稀疏性）。關於采樣率的計算方式，壓縮感知是從少量離散測量數據恢復離散數字信號，其計算方式為采樣率=測量值的大小/恢復信號的大小；而傳統信號采集是從離散采樣數據中恢復模擬信號（時序信號），采樣率指的是一個采集頻率，在我看來，這兩者定義的采樣率不具有可比性。（但從絕對值來看，壓縮感知的采集數據量應該是小於或遠小於傳統采集）
信號采集方式：傳統采樣理論是通過均勻采樣（極少情況下也采用非均勻采樣）獲取數據；壓縮感知則通過計算信號與一個觀測函數之間的內積來獲得觀測數據（AX=b）；
恢復信號形式：傳統采樣定理關注的對象是無限長的連續信號；壓縮感知是有限維觀測向量空間的向量（離散信號）；
恢復信號方式：傳統采樣恢復是在Nyquist采樣定理的基礎上，通過采樣數據的sinc函數線性內插獲得（在不均勻采樣下則是非線性的插值恢復），而壓縮感知采用的是利用信號的稀疏性，從線性觀測數據中通過求解一個非線性的優化問題來恢復信號的方法。
壓縮感知的核心思想：壓縮和采樣合並進行，並且測量值遠小於傳統采樣方法的數據量，突破香農采樣定理的瓶頸，使高分辨率的信號采集成為可能。