1. 常見的傅里葉變換對
1.1. 矩形脈沖相關
矩形脈沖信號
\[G_\tau(t) \leftrightarrow \tau \mathrm{Sa} (\frac{\tau}{2} w) \]
采樣信號
\[\mathrm{Sa}(w_c t) \leftrightarrow \frac{\pi}{w_c} G_{2w_c}(w) \]
三角脈沖信號
\[\land_{2\tau}(t) \leftrightarrow \tau Sa^2(\frac{\tau w}{2}) \]
【注意】
- \(G_{\tau}(t)\) 和 \(\land_{2\tau}(t)\) 的下標表示的非0區間的長度；
- 三角脈沖信號與矩形脈沖信號的關系：\(\land_{2\tau}(t) = \frac{1}{\tau} G_{\tau}(t) * G_{\tau}(t)\)
- 通過傅氏變換的 對稱性 和 時域卷積定理 可以證明以上式子。
1.2. 階躍信號相關
單位階躍信號
\[u(t) \leftrightarrow \frac{1}{jw} + \pi \delta(w) \]
單位斜坡信號
\[tu(t) \leftrightarrow j\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w} \left(\frac{1}{jw} + \pi \delta(w)\right) = -\frac{1}{w^2} + j\pi \delta'(w) \]
【注意】
- 階躍信號不滿足絕對可積的條件，但是引入沖激函數后仍具有傅氏變換；
- \(u(t)\) 是一個積分器，即 \(\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau = f(t) * u(t)\)；
1.3. 沖激信號相關
單位沖激信號
\[\delta(t) \leftrightarrow 1\\ \delta(t-t_0) \leftrightarrow e^{-jwt_0}\\ \]
沖激信號的 \(k\) 階導數
\[\delta^{(k)}(n) \leftrightarrow (jw)^k \]
當某個信號的傅氏變換存在 常數 或者 正冪次項 （可以帶個相位），則表示該信號包含沖激或沖激導數的形式。
1.4. 直流信號
\[1 \leftrightarrow 2\pi \delta(w)\\ t^n \leftrightarrow 2 \pi j^n \delta^{(n)}(w) \]
當某個信號的傅氏變換包含 沖激 或其 沖激導數形式，表示給信號可能存在直流分量或者正冪次項。
1.5. 指數信號
（0 < a < 1）
單邊指數信號
因果型：\(e^{-at} u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a+jw}\)
非因果型：\(e^{at}u(-t) \leftrightarrow \frac{1}{a-jw}\)
雙邊指數信號
偶對稱型：
\[\begin{aligned} e^{-a|t|} &= e^{-at}u(t) + e^{at}u(-t)\\ &\leftrightarrow \frac{2a}{a^2 + w^2} \end{aligned} \]
奇對稱型：
\[\begin{aligned} e^{-at}u(t) - e^{at}u(-t) \leftrightarrow \frac{-2jw}{a^2 + w^2} \end{aligned} \]
指數調頻信號
\[e^{-at}\sin(w_0 t)u(t) \leftrightarrow \frac{w_0}{(a + jw)^2 + w_0^2}\\ e^{-at}\cos(w_0 t)u(t) \leftrightarrow \frac{a + jw}{(a + jw)^2 + w_0^2} \]
頻域微分特性
\[\frac{t^{n-1}}{(n - 1)!}e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{(a + jw)^n} \]
諧振信號
虛指數信號
\[\begin{aligned} e^{jw_0t} &\leftrightarrow 2\pi \delta(w - w_0)\\ e^{-jw_0 t} &\leftrightarrow 2\pi \delta(w + w_0) \end{aligned} \]
三角信號
\[\begin{aligned} cos(w_0 t) &= \frac{1}{2}(e^{jw_0 t} + e^{-jw_0 t})\\ &\leftrightarrow \pi [\delta(w - w_0) + \delta(w + w_0)]\\ sin(w_0 t) &= \frac{1}{2j} (e^{jw_0t} - e^{-jw_0t})\\ &\leftrightarrow \frac{\pi}{j}[\delta(jw - jw_0) - \delta(jw + jw_0)] \end{aligned} \]
調頻信號
\[\begin{aligned} f(t)cos(w_0 t) &\leftrightarrow \frac{1}{2}[F(jw - jw_0) + F(jw + jw_0)]\\ f(t)sin(w_0 t) &\leftrightarrow \frac{1}{2j}[F(jw - jw_0) - F(jw + jw_0)] \end{aligned} \]
1.6. 符號函數相關
\[sgn(t) \leftrightarrow \frac{2}{jw} \]
對稱性
\[\frac{1}{t} \leftrightarrow j\pi sgn(w) \]
時域微分特性
\[\frac{1}{t^2} \leftrightarrow \pi w sgn(w) = \pi |w| \]