A 題 “FAST”主動反射面的形狀調節
中國天眼——500 米口徑球面射電望遠鏡（Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope，簡稱 FAST），是我國具有自主知識產權的目前世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠鏡。它的落成啟用，對我國在科學前沿實現重大原創突破、加快創新驅動發展具有重要意義。
FAST 由主動反射面、信號接收系統（饋源艙）以及相關的控制、測量和支承系統組成（如圖 1 所示），其中主動反射面系統是由主索網、反射面板、下拉索、促動器及支承結構等主要部件構成的一個可調節球面。主索網由柔性主索按照短程線三角網格方式構成，用於支承反射面板（含背架結構），每個三角網格上安裝一塊反射面板，整個索網固定在周邊支承結構上。每個主索節點連接一根下拉索，下拉索下端與固定在地表的促動器連接，實現對主索網的形態控制。反射面板間有一定縫隙，能夠確保反射面板在變位時不會被擠壓、拉扯而變形。索網整體結構、反射面板及其連接示意圖見圖 2 和圖 3。
圖 1 FAST 三維示意圖
圖 2 整體索網結構
(a) (b)
圖 3 反射面板、主索網結構及其連接示意圖
主動反射面可分為兩個狀態：基准態和工作態。基准態時反射面為半徑約 300 米、口徑為500 米的球面（基准球面）；工作態時反射面的形狀被調節為一個 300 米口徑的近似旋轉拋物面（工作拋物面）。圖 4 是 FAST 在觀測時的剖面示意圖，C 點是基准球面的球心，饋源艙接收平面的中心只能在與基准球面同心的一個球面（焦面）上移動，兩同心球面的半徑差為 F=0.466R（其中 R 為基准球面半徑，稱 F/R 為焦徑比）。饋源艙接收信號的有效區域為直徑 1 米的中心圓盤。當 FAST 觀測某個方向的天體目標 S 時，饋源艙接收平面的中心被移動到直線 SC 與焦面的交點 P 處，調節基准球面上的部分反射面板形成以直線 SC 為對稱軸、以 P 為焦點的近似旋轉拋物面，從而將來自目標天體的平行電磁波反射匯聚到饋源艙的有效區域。
圖 4 FAST 剖面示意圖
將反射面調節為工作拋物面是主動反射面技術的關鍵，該過程通過下拉索與促動器配合來完成。下拉索長度固定。促動器沿基准球面徑向安裝，其底端固定在地面，頂端可沿基准球面徑向伸縮來完成下拉索的調節，從而調節反射面板的位置，最終形成工作拋物面。
本賽題要解決的問題是：在反射面板調節約束下，確定一個理想拋物面，然后通過調節促動器的徑向伸縮量，將反射面調節為工作拋物面，使得該工作拋物面盡量貼近理想拋物面，以獲得天體電磁波經反射面反射后的最佳接收效果。
請你們團隊根據附錄中的要求及相關參數建立模型解決以下問題：
1、當待觀測天體𝑆位於基准球面正上方，即𝛼 = 0°, 𝛽 = 90°時，結合考慮反射面板調節因素，確定理想拋物面。
2、當待觀測天體𝑆位於𝛼 = 36.795°, 𝛽 = 78.169°時，確定理想拋物面。建立反射面板調節模型，調節相關促動器的伸縮量，使反射面盡量貼近該理想拋物面。將理想拋物面的頂點坐標， 以及調節后反射面 300 米口徑內的主索節點編號、位置坐標、各促動器的伸縮量等結果按照規定的格式（見附件 4）保存在“result.xlsx”文件中。
3、基於第 2 問的反射面調節方案，計算調節后饋源艙的接收比，即饋源艙有效區域接收到的反射信號與 300 米口徑內反射面的反射信號之比，並與基准反射球面的接收比作比較。
附錄：要求及相關參數
1、主動反射面共有主索節點 2226 個，節點間連接主索 6525 根，不考慮周邊支承結構連接
的部分反射面板，共有反射面板 4300 塊。基准球面的球心在坐標原點，附件 1 給出了所有主索
節點的坐標和編號，附件 2 給出了促動器下端點（地錨點）坐標、基准態時上端點（頂端）的
坐標，以及促動器對應的主索節點編號，附件 3 給出了 4300 塊反射面板對應的主索節點編號。 2、基准態下，所有主索節點均位於基准球面上。
3、每一塊反射面板均為基准球面的一部分。反射面板上開有許多直徑小於 5 毫米的小圓孔， 用於透漏雨水。由於小孔的直徑小於所觀察的天體電磁波的波長，不影響對天體電磁波的反射， 所以可以認為面板是無孔的。
4、電磁波信號及反射信號均視為直線傳播。
5、主索節點調節后，相鄰節點之間的距離可能會發生微小變化，變化幅度不超過 0.07%。
6、將主索節點坐標作為對應的反射面板頂點坐標。
7、通過促動器頂端的伸縮，可控制主索節點的移動變位，但連接主索節點與促動器頂端的下拉索的長度保持不變。促動器伸縮沿基准球面徑向趨向球心方向為正向。假設基准狀態下， 促動器頂端徑向伸縮量為 0，其徑向伸縮范圍為-0.6～+0.6 米。
8、天體 S 的方位可用方位角𝛼和仰角𝛽來表示（見圖 5）。
圖 5 天體 S 方位角與仰角示意圖