1.背景
笛卡爾坐標系: 就是直角坐標系和斜坐標系的統稱。
歐氏空間:
在歐氏（幾何）空間，同一平面的兩條平行線永遠不能相交，這是我們都熟悉的一種場景。 然而，在透視空間里面，兩條平行線可以相交，例如：火車軌道隨着我們的視線越來越窄，最后兩條平行線在無窮遠處交於一點。
歐氏空間（或者笛卡爾空間）描述2D/3D幾何非常適合，但是這種方法卻不適合處理透視空間的問題（實際上，歐氏幾何是透視幾何的一個子集合），2D笛卡爾坐標可以表示為(x,y) 。
如果一個點在無窮遠處，這個點的坐標將會(∞，∞)，在歐氏空間中，這就變得沒有意義。平行線在透視空間的無窮遠處交於一點，但是在歐氏空間卻不能表示，數學家發現了一種方式來解決這個問題（那就是齊次坐標）。
2.齊次坐標的定義
“齊次坐標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區分向量和點，同時也更易用於進行仿射（線性）幾何變換。”—— F.S. Hill, JR
簡單的說：齊次坐標就是在原有坐標上加上一個維度：
我們可以在一個2D笛卡爾坐標末尾加上一個額外的變量w來形成2D齊次坐標。因此，一個在笛卡爾坐標系下的點(X, Y)在齊次坐標里面變成了(x, y，w)，並且有
X = x/w
Y = y/w
例如，笛卡爾坐標系下(1,2)齊次坐標可以表示為(1,2,1)，如果點(1,2)移動到無限遠處，在笛卡爾坐標下它變為(∞，∞)，然后它的齊次坐標表示為(1,2,0)，因為(1/0,2/0)=(∞，∞)。
注意這樣的話，我們可以不用 ” ∞ " 來表示一個無窮遠處的點了
3.點和向量
點是三維空間中的某個坐標，是絕對的，它的值是參照原點的。
向量用於表示力和速度等具有方向和大小的量， 通常用具有長度和方向的線段來表示。
他們都具有三個分量，但對於向量，如果將向量放在坐標系中的任何位置（平移），都不會改變其性質，因為向量表示的是方向和大小，與位置距離無關，它的值是相對與基准點的。下圖是三維頂點和向量的數學符號或稱為列矩陣。
兩個點向量得到一個向量：
設O（0，0）是原點，則A、B的坐標與向量OA、OB的坐標相同，向量BA=向量OB-向量OA
點和向量轉為齊次坐標, 通過將第四個分量定義為0或1，來描述前面三個坐標分量是向量的還是點的坐標。
1.如果第四個分量為 0，則前面 x，y，z 三個坐標分量描述的是一個向量。
2.如果第四個分量為 1，則前面 x，y，z 三個坐標分量描述的是一個點。
普通坐標(Ordinary Coordinate)和齊次坐標(Homogeneous Coordinate)之間進行轉換：
(1)從普通坐標轉換成齊次坐標時
如果(x,y,z)是個點，則變為(x,y,z,1);
如果(x,y,z)是個向量，則變為(x,y,z,0)
(2)從齊次坐標轉換成普通坐標時
如果是(x,y,z,1)，則知道它是個點，變成(x,y,z);
如果是(x,y,z,0)，則知道它是個向量，仍然變成(x,y,z)
通過定義，我們同時得到以下性質：
1）兩點相減的結果是一個向量（因為兩個點第四個分量都為 1，相減之后變為了 0）
2）一個點與一個向量相加的結果是一個點（點的第四個分量為 1，而向量的第四個分量為 0，1+0=1，因此相加的結果是一個點）
4.無窮遠點
在平面幾何中，我們認為“平行直線不會相交”。這個觀點在射影幾何中得到了修正，“平行直線相交於無窮遠點”。無窮遠點並不在我們通常理解的平面之內，而是在平面之外的“無窮遠處”。為了方便說明，這種點通常用∞
來表示。
用齊次坐標證明兩條平行直線相交於無窮遠點
在歐幾里得空間的線性系統方程：
兩條平行直線:
Ax + By + C = 0
Ax + By + D = 0
在笛卡爾坐標系中，如果C≠D該方程組無解。如果C=D，兩條直線就相同了。
在透視空間中，使用齊次坐標“(x/w, y/w)"分別代替(x, y)重寫這個方程。
Ax/w + By/w + C = 0
Ax/w + By/w + D = 0
化為
Ax + By + Cw = 0
Ax + By + Dw = 0
有一個解(x,y,0)。因此兩條平行直線相交於(x,y,0)，這個點在無窮遠處。
在二維向量中，點的齊次坐標表示為(x,y,1),寫成一般形式為(Hx,Hy,H)。對於任何不等於0的H，(Hx,Hy,H)都表示普通坐標中的(x,y)，所以在二/三維空間中，點沒有唯一的齊次坐標。
例如，齊次坐標(12,9,3)和（8，6，2）都表示普通坐標系中的一點(4,3)。當齊次坐標已知時，若要求解普通坐標(x,y)時，可用H除各個齊次坐標，這個過程稱為標准化(或稱正常化)。
引入齊次坐標后，可以用齊次坐標表示無窮遠點，例如
(1,0,0)可以表示x方向的無窮遠點
(0,1,0)可以表示y方向的無窮遠點
可以通過透視變換將無窮遠處的點變換為與之對應的有限遠點，相當於透視投影中的滅點。
5.叉乘--點與點，直線與直線
點與點的叉乘
結論：在齊次坐標下，可以用兩個點 p, q 的齊次坐標叉乘結果來表達一條直線 l，也就是
直線l = 點p x 點q
直線與直線的叉乘
結論：在齊次坐標下，兩條直線 l, m 的叉乘表示他們的交點 x
交點x = 直線l x 直線m
兩個向量叉乘的方向
兩個向量a和b的叉乘僅在三維空間中有定義，寫作 a x b. a x b 是與向量a, b都垂直的向量，其方向通過右手定則（見下圖）決定。
其模長等於以兩個向量為邊的平行四邊形的面積（見下圖）。
證明
為什么兩條直線 l, m 的叉乘 l x m 等於它們的交點 p，也就是 p = l x m？
原因如下：首先，根據前面叉乘的定義，l x m 的結果向量（記為 p = l x m） 與 l 和 m都垂直，根據點乘的定義，垂直的向量之間的點積為0，因此可以得到：
因此，根據前面點在直線上的結論，可以看到p既在直線l上又在直線m上，所以p = l x m是兩條直線的交點。此處p是齊次坐標。同樣的，可以證明，兩點p, q 的叉乘 可以表示 過兩點的直線l，即 l = p x q。
參考
https://zhuanlan.zhihu.com/p/373969867
https://www.cnblogs.com/CodeBlove/archive/2008/10/25/1319563.html
https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html
https://jingyan.baidu.com/article/2c8c281dd30bb50008252a03.html
無窮遠點參考
http://www.360doc.com/content/18/0313/11/9200790_736608542.shtml
http://www.360doc.com/content/18/0313/11/9200790_736608542.shtml
叉乘參考
https://blog.csdn.net/yinfourever/article/details/98480841