向量叉乘與叉乘矩陣

本文轉載自查看原文 2016-04-03 11:36 46657

本文以三維向量來說明向量的叉乘計算原理以及叉乘矩陣如何求取

1、向量叉乘的計算原理

a、b分別為三維向量：

$a=({a_1},{a_2},{a_3})$

$b=({b_1},{b_2},{b_3})$

a叉乘b一般定義為：

$a{\times}b$ 或 $a{\otimes}b$

可是這只是一個符號的定義啊，具體怎么得到代數值呢

關鍵方法就是引入單位坐標向量，

這里用i j k來表示三維坐標軸，這里只是舉例，可以擴展到更多維，只是比較抽象

a、通過引入單位向量，向量就可以轉化為代數形式：

$a{\rm{=}}{a_1}i+{a_2}j+{a_3}k$

${\rm{b=}}{{\rm{b}}_1}i+{b_2}j+{b_3}k$

b、定義單位向量間的運算規則

c、計算叉乘

$a{\times}b=({a_1}i+{a_2}j+{a_3}k)*({b_1}i+{b_2}j+{b_3}k)$

$a{\times}b=({a_2}{b_3}-{a_3}{b_2})i+({a_3}{b_1}-{a_1}{b_3})j+({a_1}{b_2}-{a_2}{b_1})k$

2、計算叉乘矩陣

$a{\times}b=({a_2}{b_3}-{a_3}{b_2})i+({a_3}{b_1}-{a_1}{b_3})j+({a_1}{b_2}-{a_2}{b_1})k$

把叉乘結果寫成向量的形式：

$a{\times}b=\left[\begin{array}{l} {a_2}{b_3}-{a_3}{b_2}\\ {a_3}{b_1}-{a_1}{b_3}\\ {a_1}{b_2}-{a_2}{b_1} \end{array}\right]$

變換形式得到叉乘矩陣：

$a{\times}b={\left[a\right]_\times}b=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{-{a_3}}&{{a_2}}\\ {{a_3}}&0&{-{a_1}}\\ {-{a_2}}&{{a_1}}&0 \end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {b{}_2}\\ {{b_3}} \end{array}}\right]$

其中 ${\left[a\right]_\times}$ 稱為a向量的叉乘矩陣。

3、高維向量求取叉乘矩陣

對於三維和三維以下向量的叉乘計算和叉乘矩陣的求取通過定義單位向量間的運算規則可以計算得到。

對於高維向量，這種方法顯得有些繁瑣不易理解且容易出錯。

下面介紹另外一種方法，先舉個二維的例子：

假設向量a是一個二維的向量（這里只使用二維是為了讓例子容易理解）

$a=\left({\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}} \end{array}}\right)$

這里引入一個反對稱（anti-symmetric）矩陣H：

$H=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{-1}\\ 1&0 \end{array}}\right]$

通過計算 $aH{a^T}$ ，發現結果為0

由叉乘的規則，a叉乘a的結果為0：

$a{\times}a={\left[a\right]_\times}a=0$

通過對比，可以發現 aH 就是a向量的叉乘矩陣，當a為列向量時 ${a^T}H$ 為a向量的叉乘矩陣。

如果a為三維向量，那么H為：

$H=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{H_1}}\\ {{H_2}}\\ {{H_3}} \end{array}}\right]$ ${H_1}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0\\ 0&0&{-1}\\ 0&{-1}&0 \end{array}}\right]$ ${H_2}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1\\ 0&0&0\\ {-1}&0&0 \end{array}}\right]$ ${H_3}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{-1}&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end{array}}\right]$

可以發現H就是由一個個反對稱矩陣構成。

如果向量a的維數為 p ，那 H 就有 $\frac{{p(p-1)}}{2}$ 個子矩陣。

4、擴展

對於向量的點乘、四元數乘法都可以通過定義單位向量 i j k…之間的運算規則來推導。

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