向量的點乘和叉乘

【點乘】

在數學中，數量積（dot product; scalar product，也稱為點積）是接受在實數R上的兩個向量並返回一個實數值標量的二元運算。它是歐幾里得空間的標准內積。

代數定義

設二維空間內有兩個向量  和  定義它們的數量積（又叫內積、點積）為以下實數：

更一般地，n維向量的內積定義如下:

 

幾何定義

設二維空間內有兩個向量  和  ，它們的夾角為 ，則內積定義為以下實數：

該定義只對二維和三維空間有效。

點積的值

u的大小、v的大小、u,v夾角的余弦。在u,v非零的前提下，點積如果為負，則u,v形成的角大於90度；如果為零，那么u,v垂直；如果為正，那么u,v形成的角為銳角。

兩個單位向量的點積得到兩個向量的夾角的cos值，通過它可以知道兩個向量的相似性，利用點積可判斷一個多邊形是否面向攝像機還是背向攝像機。

向量的點積與它們夾角的余弦成正比，因此在聚光燈的效果計算中，可以根據點積來得到光照效果，如果點積越大，說明夾角越小，則物理離光照的軸線越近，光照越強。

 

運算律

交換律： 

分配律： 

結合律： ，其中m是實數。

 

 

 

【叉乘】

向量積，數學中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。

表示方法

兩個向量a和b的叉積寫作a×b（有時也被寫成a∧b，避免和字母x混淆）。

定義

設a=(X1,Y1,Z1),b=(X2,Y2,Z2),
a×b=（Y1Z2-Y2Z1,Z1X2-Z2X1,X1Y2-X2Y1）

向量積可以被定義為：

模長：（在這里θ表示兩向量之間的夾角(共起點的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位於這兩個矢量所定義的平面上。）

方向：a向量與b向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。（一個簡單的確定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的：若坐標系是滿足右手定則的，當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。）

也可以這樣定義（等效）：

向量積|c|=|a×b|=|a| |b|sin<a,b>

即c的長度在數值上等於以a，b，夾角為θ組成的平行四邊形的面積。

而c的方向垂直於a與b所決定的平面，c的指向按右手定則從a轉向b來確定。

*運算結果c是一個偽向量。這是因為在不同的坐標系中c可能不同。

性質

幾何意義及其運用

叉積的長度 |a×b| 可以解釋成這兩個叉乘向量a,b共起點時，所構成平行四邊形的面積。據此有：

混合積 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c為棱的平行六面體的體積。

代數規則

反交換律：

a×b= -b×a

加法的分配律：

a× (b+c) =a×b+a×c

與標量乘法兼容：

(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)

不滿足結合律，但滿足 雅可比恆等式：

a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0

分配律，線性性和雅可比恆等式別表明：具有向量加法和叉積的 R3 構成了一個李代數。

兩個非零向量a和b平行，當且僅當a×b=0

拉格朗日公式

這是一個著名的公式，而且非常有用：

a×（b×c）=b(a·c) -c(a·b),

證明過程如下：

二重向量叉乘化簡公式及證明

可以簡單地記成“BAC - CAB”。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是，這個公式對 微分 算子不成立。

這里給出一個和梯度相關的一個情形：

這是一個霍奇 拉普拉斯算子的霍奇分解 的特殊情形。

另一個有用的 拉格朗日恆等式是：

這是一個在 四元數代數中 范數乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。

 

應用

在物理學光學和計算機圖形學中，叉積被用於求物體光照相關問題。

求解光照的核心在於求出物體表面法線，而叉積運算保證了只要已知物體表面的兩個非平行矢量(或者不在同一直線的三個點),就可依靠叉積求得法線。