「學習筆記」向量外積(叉乘)

一 基本概念

一) 定義

向量 \(\vec a, \vec b\) 的向量積為一個向量, 記為 \(\vec a \times \vec b\), 滿足

1. \(| \vec a \times \vec b| =|\vec a||\vec b|\sin \theta\), ( \(\theta\) 是 \(\vec a\) 與 \(\vec b\) 的夾角, 且 \(0 \le \theta \le \pi\)).
2. 向量 \(\vec a \times \vec b\) 的方向與 \(\vec a, \vec b\) 垂直, 且符合右手定則.

二) 運算法則

設 \(\vec a=(x_1,y_1,z_1), \vec b=(x_2,y_2,z_2),\)

則 \(\vec a \times \vec b = (y_1z_2-y_2z_1,x_2z_1-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1)\).

即, 設 \(\vec{a} = (x_1, y_1), \vec{b} = (x_2, y_2)\), 則 \(| \vec{a} \times \vec{b} | = x_1y_2-x_2y_1\).

可用三階行列式輔助記憶 ( $\vec i, \vec j, \vec k $ 分別為 \(x,y,z\) 軸上的單位向量)

\[\begin{align} \vec a \times \vec b &=(x_1,y_1,z_1) \times (x_2,y_2,z_2) \\ &= \left| \begin{array}{c} \vec i &\vec j &\vec k \\ x_1 &y_1 &z_1 \\ x_2 &y_2 &z_2 \\ \end{array} \right| \\ &= (y_1z_2-y_2z_1)\vec i+(x_2z_1-x_1z_2)\vec j+(x_1y_2-x_2y_1)\vec k \end{align} \]

二 性質

一) \(| \vec a \times \vec b|\) 的幾何意義為: 以 \(\vec a, \vec b\) 為鄰邊的平行四邊形的面積.

​ 證明: 由計算式 \(| \vec a \times \vec b| =|\vec a||\vec b|\sin \theta\) 易得.

二) 設 \(\vec a=(x_1,y_1), \vec b=(x_2,y_2)\),

​ 若 \(x_1y_2-x_2y_1 < 0\), 則 \(\vec b\) 在 \(\vec a\) 的順時針方向;

​ 若 \(x_1y_2-x_2y_1 > 0\), 則 \(\vec b\) 在 \(\vec a\) 的逆時針方向;

​ 若 \(x_1y_2-x_2y_1 = 0\), 則 \(\vec b \parallel a\).

​ 證明: 將 \(\vec a,\vec b\) 的坐標帶入上文中的運算公式, 易得 \(x_1y_2-x_2y_1\) 即為 \(\vec a,\vec b\) 的向量積在 \(z\) 軸上的坐標. 再根據右手定則, 即可判斷 \(\vec a,\vec b\) 間的方向關系

三) \(\vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a\).

​ 證明: 帶入運算公式即可.