「学习笔记」向量外积(叉乘)

一 基本概念

一) 定义

向量 \(\vec a, \vec b\) 的向量积为一个向量, 记为 \(\vec a \times \vec b\), 满足

1. \(| \vec a \times \vec b| =|\vec a||\vec b|\sin \theta\), ( \(\theta\) 是 \(\vec a\) 与 \(\vec b\) 的夹角, 且 \(0 \le \theta \le \pi\)).
2. 向量 \(\vec a \times \vec b\) 的方向与 \(\vec a, \vec b\) 垂直, 且符合右手定则.

二) 运算法则

设 \(\vec a=(x_1,y_1,z_1), \vec b=(x_2,y_2,z_2),\)

则 \(\vec a \times \vec b = (y_1z_2-y_2z_1,x_2z_1-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1)\).

即, 设 \(\vec{a} = (x_1, y_1), \vec{b} = (x_2, y_2)\), 则 \(| \vec{a} \times \vec{b} | = x_1y_2-x_2y_1\).

可用三阶行列式辅助记忆 ( $\vec i, \vec j, \vec k $ 分别为 \(x,y,z\) 轴上的单位向量)

\[\begin{align} \vec a \times \vec b &=(x_1,y_1,z_1) \times (x_2,y_2,z_2) \\ &= \left| \begin{array}{c} \vec i &\vec j &\vec k \\ x_1 &y_1 &z_1 \\ x_2 &y_2 &z_2 \\ \end{array} \right| \\ &= (y_1z_2-y_2z_1)\vec i+(x_2z_1-x_1z_2)\vec j+(x_1y_2-x_2y_1)\vec k \end{align} \]

二 性质

一) \(| \vec a \times \vec b|\) 的几何意义为: 以 \(\vec a, \vec b\) 为邻边的平行四边形的面积.

​ 证明: 由计算式 \(| \vec a \times \vec b| =|\vec a||\vec b|\sin \theta\) 易得.

二) 设 \(\vec a=(x_1,y_1), \vec b=(x_2,y_2)\),

​ 若 \(x_1y_2-x_2y_1 < 0\), 则 \(\vec b\) 在 \(\vec a\) 的顺时针方向;

​ 若 \(x_1y_2-x_2y_1 > 0\), 则 \(\vec b\) 在 \(\vec a\) 的逆时针方向;

​ 若 \(x_1y_2-x_2y_1 = 0\), 则 \(\vec b \parallel a\).

​ 证明: 将 \(\vec a,\vec b\) 的坐标带入上文中的运算公式, 易得 \(x_1y_2-x_2y_1\) 即为 \(\vec a,\vec b\) 的向量积在 \(z\) 轴上的坐标. 再根据右手定则, 即可判断 \(\vec a,\vec b\) 间的方向关系

三) \(\vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a\).

​ 证明: 带入运算公式即可.