@
目錄
數學建模常見的一些方法
TOPSIS法
（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）
- 可翻譯為逼近理想解排序法，國內常簡稱為優劣解距離法
- TOPSIS 法是一種常用的綜合評價方法，其能充分利用原始數據的信息，其結果能精確地反映各評價方案之間的差距。
TOPSIS的介紹
C.L.Hwang 和 K.Yoon 於1981年首次提出 TOPSIS (Technique forOrder Preference by Similarity to an Ideal Solution)，可翻譯為逼近理想解排序法，國內常簡稱為優劣解距離法.。
TOPSIS 法是一種常用的綜合評價方法，能充分利用原始數據的信息，其結果能精確地反映各評價方案之間的差距。
基本過程為先將原始數據矩陣統一指標類型（一般正向化處理）得到正向化的矩陣，再對正向化的矩陣進行標准化處理以消除各指標量綱的影響，並找到有限方案中的最優方案和最劣方案，然后分別計算各評價對象與最優方案和最劣方案間的距離，獲得各評價對象與最優方案的相對接近程度，以此作為評價優劣的依據。該方法對數據分布及樣本含量沒有嚴格限制，數據計算簡單易行。
優劣解距離法操作步驟
1. 將原始矩陣正向化
| 指標名稱 | 指標特 | 例子 |
|---|---|---|
| 極大型（效益型）指標 | 越大（多）越好 | 成績、GDP增速、企業利潤 |
| 極小型（成本型）指標 | 越小（少）越好 | 費用、壞品率、污染程度 |
| 中間型指標 | 越接近某個值越好 | 水質量評估時的PH值 |
| 區間型指標 | 落在某個區間最好 | 體溫、水中植物性營養物量 |
- 所謂的將原始矩陣正向化，就是要將所有的指標類型統一轉化為極大型指標。
1.1 極小型指標 → 極大型指標
1.2 中間型指標 → 極大型指標
1.3 區間型指標 → 極大型指標
2. 正向化矩陣標准化
具體計算過程看后部分
3. 計算得分並歸一化
具體計算過程看后部分
標准化處理公式
計算代碼:
>> X = [89,1;60,3;74,2;99,0]
>> [n,m]=size(X)
>> X ./ repmat(sum(X .* X) .^0.5, n,1)
計算過程：
>> X = [89,1;60,3;74,2;99,0]
X =
89 1
60 3
74 2
99 0
>> [n,m]=size(X)
n = 4
m = 2
>> sum(X .* X)
ans = 26798 14
>> sum(X .* X) .^0.5
ans = 163.7009 3.7417
>> repmat(sum(X .* X) .^0.5, n,1)
ans =
163.7009 3.7417
163.7009 3.7417
163.7009 3.7417
163.7009 3.7417
>> X ./ repmat(sum(X .* X) .^0.5, n,1)
ans =
0.5437 0.2673
0.3665 0.8018
0.4520 0.5345
0.6048 0
類比只有一個指標計算得分
計算代碼:
>> X = [89,1;60,3;74,2;99,0]
>> [n,m]=size(X)
>> Z = X ./ repmat(sum(X .* X) .^0.5, n,1)
>> D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D+向量
>> D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D-向量
>> A = D_N ./ (D_P + D_N) % 未歸一化的得分
>> A ./ repmat(sum(A),n,1) % 歸一化的得分
計算過程：
>> max(Z)
ans = 0.6048 0.8018
>> min(Z)
ans = 0.3665 0
>> repmat(max(Z),n,1)
ans =
0.6048 0.8018
0.6048 0.8018
0.6048 0.8018
0.6048 0.8018
>> repmat(min(Z),n,1)
ans =
0.3665 0
0.3665 0
0.3665 0
0.3665 0
>> (Z - repmat(max(Z),n,1)).^2
ans =
0.0037 0.2857
0.0568 0
0.0233 0.0714
0 0.6429
>> (Z - repmat(min(Z),n,1)).^2
ans =
0.0314 0.0714
0 0.6429
0.0073 0.2857
0.0568 0
>> sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)).^2 ],2)
ans =
0.2894
0.0568
0.0948
0.6429
>> sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)).^2 ],2)
ans =
0.1028
0.6429
0.2930
0.0568
>> D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5
D_P =
0.5380
0.2382
0.3078
0.8018
>> D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5
D_N =
0.3206
0.8018
0.5413
0.2382
>> A = D_N ./ (D_P + D_N) % 未歸一化的得分
A =
0.3734
0.7709
0.6375
0.2291
>> A ./ repmat(sum(A),n,1) % 歸一化的得分
ans =
0.1857
0.3834
0.3170
0.1139