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目錄
數學建模常見的一些方法
1. 擬合算法
- 與插值問題不同，在擬合問題中不需要曲線一定經過給定的點。擬合問題的目標是尋求一個函數（曲線），使得該曲線在某種准則下與所有的數據點最為接近，即曲線擬合的最好（最小化損失函數）。
1.1 插值和擬合的區別
插值算法中，得到的多項式f(x)要經過所有樣本點。但是如果樣本點太多，那么這個多項式次數過高，會造成龍格現象。
盡管我們可以選擇分段的方法避免這種現象，但是更多時候我們更傾向於得到一個確定的曲線，盡管這條曲線不能經過每一個樣本點，但只要保證誤差足夠小即可，這就是擬合的思想。(擬合的結果是得到一個確定的曲線)
1.2 求解最小二乘法
1.3 Matlab求解最小二乘
測試數據:
x =
4.2000
5.9000
2.7000
3.8000
3.8000
5.6000
6.9000
3.5000
3.6000
2.9000
4.2000
6.1000
5.5000
6.6000
2.9000
3.3000
5.9000
6.0000
5.6000
>> y
y =
8.4000
11.7000
4.2000
6.1000
7.9000
10.2000
13.2000
6.6000
6.0000
4.6000
8.4000
12.0000
10.3000
13.3000
4.6000
6.7000
10.8000
11.5000
9.9000
計算代碼:
>> plot(x,y,'o')
>> % 給x和y軸加上標簽
>> xlabel('x的值')
>> ylabel('y的值')
>> n = size(x,1);
>> k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
>> b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
>> hold on % 繼續在之前的圖形上來畫圖形
>> grid on % 顯示網格線
>> f=@(x) k*x+b; % 函數線
>> fplot(f,[2.5,7]); % 設置顯示范圍
>> legend('樣本數據','擬合函數','location','SouthEast')
計算過程：
>> plot(x,y,'o')
>> % 給x和y軸加上標簽
>> xlabel('x的值')
>> ylabel('y的值')
>> n = size(x,1);
>> n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y)
ans = 1.3710e+03
>> n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x)
ans = 654.4600
>> k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
k = 2.0948
>> b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
b = -1.0548
>> hold on
>> grid on
>> f=@(x) k*x+b;
>> fplot(f,[2.5,7]);
>> legend('樣本數據','擬合函數','location','SouthEast')
1.4 如何評價擬合的好壞
線性函數是指對參數為線性（線性於參數）
在函數中，參數僅以一次方出現，且不能乘以或除以其他任何的參數，並不能出現參數的復合函數形式。
1.5 證明SST = SSE + SSR
1.6 計算擬合優度的代碼
計算代碼:
mean() 是求均值的函數
>> y_hat = k*x+b; % y 的擬合值
>> SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2) % 回歸平方和
>> SSE = sum((y_hat-y).^2) % 誤差平方和
>> SST = sum((y-mean(y)).^2) % 總體平方和
>> SST-SSE-SSR
>> R_2 = SSR / SST
計算過程:
>> y_hat = k*x+b; % y 的擬合值
>> SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2) % 回歸平方和
SSR = 151.1583
>> SSE = sum((y_hat-y).^2) % 誤差平方和
SSE = 5.7281
>> SST = sum((y-mean(y)).^2) % 總體平方和
SST = 156.8863
>> SST-SSE-SSR
ans = 5.6843e-14
>> R_2 = SSR / SST
R_2 = 0.9635
1.7 擬合工具箱
低版本的Matlab可以在命令窗口中直接輸入”cftool”
1.8 補充的計算函數randi，rand，normrnd，roundn
1.8.1 randi(范圍,行,列): 產生均勻分布的隨機整數（i = int）
%產生一個1至10之間的隨機整數矩陣，大小為2x5；
s1 = randi(10,2,5)
9 4 5 3 2
7 6 1 2 3
%產生一個-5至5之間的隨機整數矩陣，大小為1x10；
s2 = randi([-5,5],1,10)
-1 -5 4 5 0 0 -2 4 -1 -4
1.8.2 rand(行,列): 產生0至1之間均勻分布的隨機數
%產生一個0至1之間的隨機矩陣，大小為1x5；
s3 = rand(1,5)
0.780252068321138 0.389738836961253 0.241691285913833 0.403912145588115 0.0964545251683886
%產生一個a至b之間的隨機矩陣，大小為1x5； % a + (b-a) * rand(1,5); 如：a,b = 2,5
s4= 2 + (5-2) * rand(1,5)
2.39591987781901 4.82615177232646 4.86840362068941 3.72562578523540 2.17933862884147
1.8.3 normrnd(均值,標准差,行,列):產生正態分布的隨機數
%產生一個均值為0，標准差（方差開根號）為2的正態分布的隨機矩陣，大小為3x4；
s5 = normrnd(0,2,3,4)
-1.73093606110961 -2.66400884263049 0.667021666131612 -0.260569306291441
-0.353068228462902 -4.65973431161015 0.782707208865802 0.367378191723884
1.58283212325727 -2.89819458567748 0.903358837856475 -0.952306033238148
1.8.4 roundn(數,位數)—任意位置四舍五入
% 0個位 1十位 2百位 -1小數點后一位 以此類推
a = 3.1415
roundn(a,-2) % ans = 3.1400
roundn(a,2) % ans = 0
a =31415
roundn(a,2) % ans = 31400
roundn(5.5,0) %6
roundn(5.5,1) %10