優劣解距離法(TOPSIS)

一、模型介紹

　　TOPSIS 法是一種常用的綜合評價方法，其能充分利用原始數據的信息，其結果能精確地反映各評價方案之間的差距。

　　基本過程為先將原始數據矩陣統一指標類型（一般正向化處理）得到正向化的矩陣，再對正向化的矩陣進行標准化處理以消除各指標量綱的影響，並找到有限方案中的最優方案和最劣方案，然后分別計算各評價對象與最優方案和最劣方案間的距離，獲得各評價對象與最優方案的相對接近程度，以此作為評價優劣的依據。該方法對數據分布及樣本含量沒有嚴格限制，數據計算簡單易行。

二、基本步驟

（一）將原始矩陣正向化

指標名稱	指標特點	例子
極大型（效益型）指標	越大（多）越好	成績、GDP增速、企業利潤
極小型（成本型）指標	越小（少）越好	費用、壞品率、污染程度
中間型指標	越接近某個值越好	水質量評估時的PH值
區間型指標	落在某個區間最好	體溫、水中植物性營養物量

所謂的將原始矩陣正向化，就是要將所有的指標類型統一轉化為極大型指標，公式是不唯一的。

1)極小型指標->極大型指標

極小型指標轉換為極大型指標的公式：

2）中間型指標->極大型指標

中間型指標：指標值既不要太大也不要太小，取某特定值最好（如水質量評估PH 值）

是一組中間型指標序列，且最佳的數值為，那么正向化公式如下：

3)區間型指標

區間型指標：指標值落在某個區間內最好，例如人的體溫在36°～37°這個區間比較好。

（二）正向化矩陣標准化

標准化的目的是消除不同指標量綱的影響。

假設有n個要評價的對象，m個評價指標（已經正向化了），構成的正向化矩陣如下：

那么，對其標准化的矩陣記為Z，Z中的每一個元素：

（每一個元素除以根號下每一列元素的平方和）

（三）計算得分並歸一化

假設有n個評價對象，m個評價指標的標准化矩陣

定義最大值Z⁺=(Z₁⁺,Z₂⁺,..,Z_m⁺)

　　　　　　=(max{z₁₁,z₂₁,..,z_n1},max{z₁₂,z₂₂,..,z_n2},...,max{z_1m,z_2m,..,z_nm})

定義最小值Z^-=(Z₁^-,Z₂^-,..,Z_m^-)

　　　　　　=(min{z₁₁,z₂₁,..,z_n1},min{z₁₂,z₂₂,..,z_n2},...,min{z_1m,z_2m,..,z_nm})

定義第i(i=1,2,..,n)個評價對象與最大值的距離

定義第i(i=1,2,..,n)個評價對象與最小值的距離

那么可以計算得出第i(i=1,2,..,n)個評價對象未歸一化的得分

很明顯0<=S_i<=1,且S_i越大D_i⁺越小，即越接近最大值

將得分進行歸一化