歐幾里得引理
如果一個正整數整除另外兩個正整數的乘積，第一個整數與第二個整數互質，那么第一個整數整除第三個整數。
即：如果 \(a \mid bc\)，\(\gcd (a,b) = 1\) 那么 \(a \mid c\)。
命題 \(30\)：如果一個素數整除兩個正整數的乘積，那么這個素數可以至少整除這兩個正整數中的一個。
即：
如果 \(p \mid c\) 那么 \(p \mid b\) 或者 \(p \mid c\)。
證明：
設 \(p \mid ab\)，但 \(p\) 不是 \(a\) 的因子。
於是，可設 \(rp=ab\)，其中 \(r \mid ab\)。
由於 \(p\) 是質數，且不是 \(a\) 的因子，\(\gcd (a,p) = 1\)。
這就是說，可以找到兩個整數 \(x\) 和 \(y\)，使得 \(1 = px + ay\)（裴蜀定理）。兩邊乘以 \(b\)，可得：
\(b = b (px + ay)\),
\(b = bpx + bay\).
前面已經說了 \(rp = ab\)，因此：
\(b = bps + rpy\),
\(b = p (bx + ry)\).
所以，\(p \mid b\)。
這就是說，\(p\) 要么整除 \(a\)，要么整除 \(b\)，要么都能整除。
證畢。