Rodrigues' Rotation Fomula-羅德里格斯旋轉公式
此公式用於表示繞過原點的某一軸 $ \mathbf{n} $ 旋轉 $ \alpha $ 的變換矩陣，推導過程參考GAMES101-Lectrue 04輔助講義。
推導過程
Step 1
\(\vec{a}\) 為標准化后的 \(\mathbf{n}\), \(\vec{S}\) 為待旋轉向量，\(\hat{a}\) 和 \(\hat{b}\) 為 \(\hat{a}\) 和 \(\vec{S}\) 所在平面的正交基。
將\(\vec{S}\) 分解到 \(\hat{a}\) 和 \(\hat{b}\) 上后，易得 \(\vec{S_\parallel}\) 與 \(\vec{S_\perp}\), 如上圖所示。
PS：\(\vec{S}\) 在 \(\hat{a}\) 上的投影用矩陣可表示為 \(aa^T\cdot\vec{S}\)
Step 2
根據向量叉乘幾何意義可得出三維坐標系的第三個正交基\(\hat{c}\), 根據叉乘的分配律可得圖上結果。
PS:
\[\begin{aligned} \hat{a}\times\vec{S_\perp} &= \hat{a}\times(\vec{S}-\vec{S_\parallel})\\ &=\hat{a}\times\vec{S} \end{aligned} \]
Step 3
\(\vec{S}\) 旋轉后的 \(\vec{S^{rot}}\) 在平面\((\hat{b},\hat{c})\) 的投影 \(\vec{S^{rot}_{\perp}}\) 和 \(\vec{S_\perp}\) 的夾角為旋轉角 \(\theta\), 由向量分解規律可得 \(\vec{S^{rot}_{\perp}}\).
由：
\[\begin{aligned} \vec{S}\cdot R(\mathbf{n},\alpha)&=\vec{S^{rot}_{\parallel}}+\vec{S^{rot}_{\perp}}\\ &=aa^T\cdot\vec{S}+\vert \vec{S_\perp}\vert\cos{\alpha}\cdot\hat{b}+\vert \vec{S_\perp}\vert\sin{\alpha}\cdot\hat{c}\\ &=\cos{\alpha}\cdot\vec{S}+ (1-\cos{\alpha})aa^T\cdot\vec{S}+\sin{\alpha}\cdot\hat{a}\times\vec{S} \end{aligned} \]
化去 \(\vec{S}\) 后，可得：
\[R(\mathbf{n},\alpha)=\cos{\alpha}\cdot\mathbf{I} +(1-\cos{\alpha})\mathbf{n}\mathbf{n^T} +\sin{\alpha}\left(\begin{matrix} 0&-n_z&n_y\\ n_z&0&-n_x\\ -n_y&n_x&0\\ \end{matrix} \right) \]
推導思路理解起來其實很簡單，但線性代數基礎方面的不足讓我在計算過程中遇到了很多困難，可見基礎的重要性。